Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C1, A1 и B1 так, что  ∠(CC1, AB) = ∠(AA1, BC) = ∠(BB1, CA) = α.  Прямые AA1 и BB1, BB1 и CC1, CC1 и AA1 пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
  а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
  б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен  2 cos α.

Вниз   Решение


В треугольнике ABC (a>b>c) указаны инцентр I, а также точки K и N касания вписанной окружности со сторонами BC и AC соответственно. Проведя не более трёх линий одной линейкой, постройте отрезок длины ac.

ВверхВниз   Решение


Окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках A1 и A2B — точка окружности S, а K1 и K2 — вторые точки пересечения прямых A1B и A2B с окружностями S1 и S2. Докажите, что если прямая K1K2 касается окружности S1, то она касается и окружности S2.

ВверхВниз   Решение


На плоскости даны точки A(1;2) , B(2;1) , C(3;-3) , D(0;0) . Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD . В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ AC ?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 241]      



Задача 35477

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Векторы (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

На плоскости нарисованы два квадрата - ABCD и KLMN (их вершины перечислены против часовой стрелки). Докажите, что середины отрезков AK, BL, CM, DN также являются вершинами квадрата.
Прислать комментарий     Решение


Задача 35556

Темы:   [ Стереометрия (прочее) ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Известно, что в тетраэдре две пары скрещивающихся ребер перепндикулярны. Докажите, что и третья пара скрещивающихся ребер обладает этим свойством.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57079

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Неравенства с векторами ]
[ Центр масс ]
Сложность: 3
Классы: 9

Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X1...X10, а точка B — вне его. Пусть  a = + ... +   и  b = + ... + .
Может ли оказаться, что  |a| > |b| ?

Прислать комментарий     Решение

Задача 57080

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Момент инерции ]
Сложность: 3
Классы: 9

Правильный многоугольник  A1...An вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка.
Докажите, что   A1X² + ... + AnX² = n(R² + d²),  где  d = OX.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111055

Темы:   [ Метод координат ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На плоскости даны точки A(1;2) , B(2;1) , C(3;-3) , D(0;0) . Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD . В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ AC ?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 241]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .