Версия для печати
Убрать все задачи
Докажите, что если $а > b > с$, то
$$a^2 (b-с) + b^2 (с-a) + с^2 (a-b) > 0.$$
Решение
В равностороннем треугольнике ABC на стороне AB взята точка D так, что AD = AB/n.
Докажите,что сумма n – 1 углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей, равна 30°:
а) при n = 3;
б) при произвольном n.
Решение
Дракон заточил в темницу рыцаря и выдал ему 100 разных монет, половина из которых волшебные (какие именно – знает только дракон). Каждый день рыцарь раскладывает все монеты на две кучки (не обязательно равные). Если в кучках окажется поровну волшебных монет или поровну обычных, дракон отпустит рыцаря. Сможет ли рыцарь гарантированно освободиться не позже, чем
а) на 50-й день?
б) на 25-й день?
Решение
Пусть τ(n) – количество положительных делителей натурального числа n = 
, а σ(n) – их сумма. Докажите равенства:
а) τ(n) = (α1 + 1)...(αs + 1); б) σ(n) = 
·...·
.
Решение
Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1
можно целиком покрыть этот цилиндр?
Решение
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны
a ,
b и
c .
Найдите углы между его диагоналями.
Решение
Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло
быть наименьшее число орехов в собранной куче?
Решение
Через каждую вершину единичного куба проведены плоскости,
перпендикулярные одной и той же диагонали куба. На какие части
делится диагональ этими плоскостями.
Решение
Фильтр
