Каталог по темам

Задачи

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 [Всего задач: 275]

Задача 109193

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Маркелов С.В.

Пусть = , где – несократимая дробь.
Докажите, что неравенство b_n+1 < b_n выполнено для бесконечного числа натуральных n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111691

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

На столе лежат N > 2 кучек по одному ореху в каждой. Двое ходят по очереди. За ход нужно выбрать две кучки, где числа орехов взаимно просты, и объединить эти кучки в одну. Выиграет тот, кто сделает последний ход. Для каждого N выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл его противник.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105168

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Сендеров В.А.

Дано равенство (a^m₁ – 1)...(a^m_n – 1) = (a^k₁ + 1)...(a^k_l + 1), где a, n, l и все показатели степени – натуральные числа, причём a > 1.
Найдите все возможные значения числа a.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57089

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что если число n не является степенью простого числа, то существует выпуклый n-угольник со сторонами длиной 1, 2,..., n, все углы которого равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111898

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Деление с остатком	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 6,7,8,9,10

Автор: Раскина И.В.

а) Скупой рыцарь хранит золотые монеты в шести сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну в эти два сундука. Еще он заметил, что если открыть любые 3, 4 или 5 сундуков, то тоже можно переложить лежащие в них монеты таким образом, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и старый скряга так и не узнал, можно ли разложить все монеты поровну по всем шести сундукам. Можно ли, не заглядывая в заветные сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?
б) А если сундуков было восемь, а Скупой рыцарь мог разложить поровну монеты, лежащие в любых 2, 3, 4, 5, 6 или 7 сундуках?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 [Всего задач: 275]