Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]

Задача 79553

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Неравенства с модулями	]
	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Все значения квадратного трёхчлена ax² + bx + c на отрезке [0, 1] по модулю не превосходят 1.
Какое наибольшее значение при этом может иметь величина |a| + |b| + |c|?

Прислать комментарий

Решение

Задача 110162

Темы:	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Неравенства с модулями	]
	[	Иррациональные неравенства	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Положительные числа x, y, z таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.
Докажите, что + + > x + y + z.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111763

Темы:	[	Вычисление производной	]
	[	Неравенства с модулями	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)| при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110748

Темы:	[	Выпуклый анализ и линейное программирование	]
Темы:	[	Неравенства с модулями	]

Сложность: 6-
Классы: 10,11

Даны числа а₁, ..., а_n.
Для 1 ≤ i ≤ n положим

d_i = MAX { a_j | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { a_j | i ≤ j ≤ n }
d = MAX { dⁱ | 1 ≤ i ≤ n }

а) Доказать, что для любых x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n выполняется неравенство

MAX { |x_i - a_i| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.

б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {x_i} i=1...n

Прислать комментарий

Решение

Задача 60309

Темы:	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Неравенства с модулями	]

Сложность: 2
Классы: 8

Докажите неравенство: |x₁ + ... + x_n| ≤ |x₁| + ... + |x_n|, где x₁,..., x_n — произвольные числа.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]