Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P   (P ≠ H).  Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 158]      

Высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H; точки A₂, B₂ и C₂ – середины отрезков AH, BH и CH соответственно. Рассмотрим шестиугольник, образованный пересечением треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂. Докажите, что его диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведена биссектриса BB₁. Перпендикуляр, опущенный из точки B₁ на BC, пересекает дугу BC описанной окружности треугольника ABC в точке K. Перпендикуляр опущенный из точки B на AK пересекает AC в точке L. Докажите что точки K, L и середина дуги AC (не содержащей точку B) лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P   (P ≠ H).  Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.

Прислать комментарий

Решение

Пусть точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $A_1$ симметрична ортоцентру треугольника $PBC$ относительно серединного перпендикуляра к $BC$. Точки $B_1$ и $C_1$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка C₁. Точки A₁, B₁ на лучах BC и AC таковы, что  ∠AC₁B₁ = ∠BC₁A₁ = ∠ACB.  Прямые AA₁ и BB₁ пересекаются в точке C₂. Докажите, что все прямые C₁C₂ проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 158]