Каталог по темам

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 203]

Задача 67023

Темы:	[	Многоугольники (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Комбинаторика (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна $p$ – 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109854

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Мурашкин М.В.

Пусть a₁, a₂, ..., a₁₀ – натуральные числа, a₁ < a₂ < ... < a₁₀. Пусть b_k – наибольший делитель a_k, меньший a_k. Оказалось, что b₁ > b₂ > ... > b₁₀.
Докажите, что a₁₀ > 500.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111865

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Подлипский О.К.

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111875

Темы:	[	Китайская теорема об остатках	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Произволов В.В., Сендеров В.А.

При каких натуральных n > 1 существуют такие натуральные b₁, ..., b_n (не все из которых равны), что при всех натуральных k число
(b₁ + k)(b₂ + k)...(b_n + k) является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 109790

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Храбров А.

Последовательность {a_n} строится следующим образом: a₁ = p – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, a_n+1 – период десятичной дроби ¹/_{a_n}, умноженный на 2. Найдите число a₂₀₀₃.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 203]