Версия для печати
Убрать все задачи
У каждого из жителей города
N знакомые составляют не менее 30 населения города.
Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так
провести выборы мэра города
N из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины
жителей.
Решение
В классе 27 учеников. Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для каждых двух учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимаются не менее 18 учеников.
Решение
В правильную четырёхугольную пирамиду вписан куб так,
что одно ребро куба лежит на средней линии основания
пирамиды; вершины куба, не принадлежащие этому ребру,
лежат на боковой поверхности пирамиды; центр куба лежит
на высоте пирамиды. Найдите отношение объёма пирамиды к
объёму куба.
Решение
На стороне BC квадрата ABCD выбрали точку M. Пусть X, Y, Z – центры окружностей, вписанных в треугольники ABM, CMD, AMD соответственно; Hx, Hy, Hz – ортоцентры треугольников AXB, CYD, AZD соответственно. Докажите, что точки Hx, Hy, Hz лежат на одной прямой.
Решение
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур даётся выражением
T(
t)
= T0+at+bt2 , где
T0 = 50
К,
a = 48
К/мин,
b = -0
,3
К/(мин). Известно, что при температурах нагревателя свыше
500
К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.
Решение
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна
,
а угол боковой грани с плоскостью основания равен
60
o . Найдите
высоту пирамиды.
Решение
В остроугольном неравностороннем треугольнике через одну вершину проведена высота, через другую – медиана, через третью биссектриса.
Докажите, что если проведённые линии, пересекаясь, образуют треугольник, то он не может быть равносторонним.
Решение
Каждый из 1994 депутатов парламента дал пощечину ровно одному своему коллеге.
Докажите, что можно составить парламентскую комиссию из 665 человек, члены
которой не выясняли отношений между собой указанным выше способом.
Решение
Назовем усреднением последовательности
ak действительных чисел последовательность
a'k с общим членом
a'k=
.
Рассмотрим последовательности:
ak ,
a'k – ее усреднение,
a''k –
усреднение последовательности
a'k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых
чисел, то будем говорить, что последовательность
ak – хорошая. Докажите, что если
последовательность
xk – хорошая, то последовательность
xk2 – тоже хорошая.
Решение
В треугольнике ABC найдите точку, из которой сторона AB видна под наименьшим углом.
Решение
В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все они равны.
Решение
В треугольнике
ABC угол
C равен
90
o ,
AB = 20
,
AC = 16
. Найдите
tgA .
Решение
Фильтр
