Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Основание прямой призмы PQRP1Q1R1 – треугольник PQR , в котором PQR = 90o , PQ:QR=1:3 . Точка K – середина катета PQ и LM призмы. Ребро AB правильной треугольной пирамиды ABCD ( A – вершина) лежит на прямой PR , вершины C и D – на прямых P1K и QQ1 соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если AB:CD=2:3 .

Вниз   Решение


Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.

  а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
  б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC стороны AB и BC равны между собой, AC = 2, а $ \angle$ACB = 30o. Из вершины A к боковой стороне BC проведены биссектриса AE и медиана AD. Найдите площадь треугольника ADE.

ВверхВниз   Решение


Окружность касается сторон AB, BC, CD параллелограмма ABCD в точках K, L, M соответственно.
Докажите, что прямая KL делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины C на AB.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике KLM взяты точка A на стороне LM, а точка B – на стороне KM. Отрезки KA и LB пересекаются в точке O,  LA : AM = 3 : 4,  KO : OA = 3 : 2.
Найдите  LO : OB.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC. На сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что  BF = 2CF,  CE = 2AE  и  ∠DEF = 90°.
Докажите, что  ∠ADE = ∠EDF.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 352]      



Задача 108938

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  ∠CAD + ∠BCA = 180°  и  AB = BC + AD.  Докажите, что  ∠BAC + ∠ACD = ∠CDA.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111665

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах произвольного треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC1B, BA1C, CB1A с углами 2α, 2β и 2γ при вершинах A1, B1 и C1, причём  α + β + γ = 180°.  Докажите, что углы треугольника A1B1C1 равны α, β и γ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111670

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC1B и AB1C с углом φ при вершине, O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудалённая от точек B1 и C1. Докажите, что  ∠B1OC1 = 180° – φ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115321

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. На сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что  BF = 2CF,  CE = 2AE  и  ∠DEF = 90°.
Докажите, что  ∠ADE = ∠EDF.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115921

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Точка M взята на стороне AC равностороннего треугольника ABC, а на продолжении стороны BC за точку C отмечена точка N, причём  BM = MN.
Докажите, что  AM = CN.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 352]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .