Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Преобразования плоскости
>>
Движения
>>
Поворот
>>
Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
На плоскости даны 10 прямых общего положения. При каждой точке пересечения выбирается наименьший угол, образованный проходящими через неё прямыми. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих углов.
По данному натуральному числу a0 строится последовательность {an} следующим образом если an нечётно, и a0/2, если an чётно. Докажите, что при любом нечётном a0 > 5 в последовательности {an} встретятся сколь угодно большие числа.
Квадрат ABCD со стороной 2 и квадрат DEFK со стороной 1 стоят рядом на верхней стороне AK квадрата AKLM со стороной 3. Между парами точек A и E, B и F, C и K, D и L натянуты паутинки. Паук поднимается снизу вверх по маршруту AEFB и спускается по маршруту CKDL. Какой маршрут короче?
Дана последовательность неотрицательных чисел a1 , a2 ,
an . Для любого k от 1 до n обозначим через mk величину
Докажите, что при любом α>0 число тех k , для которых mk>α , меньше, чем a1+a2+...+an α.
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
правильные треугольники ABC1 , AB1C и A1BC . Пусть P и
Q — середины отрезков A1B1 и A1C1 . Докажите, что
треугольник APQ правильный.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]
Задача 57939 |
|
|
Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так,
что
=
. Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.
|
|
Решение |
Задача 116107 |
|
|
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
правильные треугольники ABC1 , AB1C и A1BC . Пусть P и
Q — середины отрезков A1B1 и A1C1 . Докажите, что
треугольник APQ правильный.
|
|
Решение |
Задача 116109 |
|
|
На сторонах треугольника ABC построены вне треугольника
равносторонние треугольники BCA1 , CAB1 , ABC1 , и
проведены отрезки AA1 , BB1 и CC1 . Докажите, что
а) эти отрезки равны между собой;
б) эти отрезки пересекаются в одной точке;
в) если эта точка находится внутри треугольника ABC , то
сумма расстояний от неё до трёх вершин треугольника равна длине
каждого из отрезков AA1 , BB1 , CC1 .
|
|
|
Решение |
Задача 57940 |
|
|
а) Для данного треугольника ABC, все углы которого меньше
120o,
найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше
120o,
взята точка O, из которой его стороны видны под углом
120o.
Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна
(a2 + b2 + c2)/2 + 2S.
|
|
|
Решение |
Задача 78230 |
|
|
Дан произвольный центрально-симметричный шестиугольник. На его сторонах, как на основаниях, построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Доказать, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]
