Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Преобразования плоскости
>>
Движения
>>
Поворот
>>
Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
На плоскости даны 10 прямых общего положения. При каждой точке пересечения выбирается наименьший угол, образованный проходящими через неё прямыми. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих углов.
По данному натуральному числу a0 строится последовательность {an} следующим образом если an нечётно, и a0/2, если an чётно. Докажите, что при любом нечётном a0 > 5 в последовательности {an} встретятся сколь угодно большие числа.
Квадрат ABCD со стороной 2 и квадрат DEFK со стороной 1 стоят рядом на верхней стороне AK квадрата AKLM со стороной 3. Между парами точек A и E, B и F, C и K, D и L натянуты паутинки. Паук поднимается снизу вверх по маршруту AEFB и спускается по маршруту CKDL. Какой маршрут короче?
Дана последовательность неотрицательных чисел a1 , a2 ,
an . Для любого k от 1 до n обозначим через mk величину
Докажите, что при любом α>0 число тех k , для которых mk>α , меньше, чем a1+a2+...+an α.
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
правильные треугольники ABC1 , AB1C и A1BC . Пусть P и
Q — середины отрезков A1B1 и A1C1 . Докажите, что
треугольник APQ правильный.
Про углы треугольника ABC известно, что
и
. Найдите величину угла C.
На прямой выбрано 100 множеств A1, A2, .. , A100 , каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств A1, A2, .. , A100 является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).
На доске 4×6 клеток стоят две чёрные фишки (Вани) и две белые фишки (Серёжи, см. рис.). Ваня и Серёжа по очереди двигают любую из своих фишек на одну клетку вперёд (по вертикали). Начинает Ваня. Если после хода любого из ребят чёрная фишка окажется между двумя белыми по горизонтали или по диагонали (как на нижних рисунках), она считается "убитой" и снимается с доски. Ваня хочет провести обе свои фишки с верхней горизонтали доски на нижнюю. Может ли Серёжа ему помешать?
Алиса и Базилио играют в следующую игру; из мешка, первоначально содержащего 1331 монету, они по очереди берут монеты, причем первый ход делает Алиса и берет 1 монету, а далее при каждом следующем ходе игрок берет (по своему усмотрению) либо столько же монет, сколько взял другой игрок последним ходом, либо на одну больше. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход по правилам. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш независимо от ходов другого?
На сторонах треугольника ABC построены вне треугольника
равносторонние треугольники BCA1 , CAB1 , ABC1 , и
проведены отрезки AA1 , BB1 и CC1 . Докажите, что
а) эти отрезки равны между собой;
б) эти отрезки пересекаются в одной точке;
в) если эта точка находится внутри треугольника ABC , то
сумма расстояний от неё до трёх вершин треугольника равна длине
каждого из отрезков AA1 , BB1 , CC1 .
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]
Задача 57939 |
|
|
Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так,
что
=
. Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.
|
|
Решение |
Задача 116107 |
|
|
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
правильные треугольники ABC1 , AB1C и A1BC . Пусть P и
Q — середины отрезков A1B1 и A1C1 . Докажите, что
треугольник APQ правильный.
|
|
Решение |
Задача 116109 |
|
|
На сторонах треугольника ABC построены вне треугольника
равносторонние треугольники BCA1 , CAB1 , ABC1 , и
проведены отрезки AA1 , BB1 и CC1 . Докажите, что
а) эти отрезки равны между собой;
б) эти отрезки пересекаются в одной точке;
в) если эта точка находится внутри треугольника ABC , то
сумма расстояний от неё до трёх вершин треугольника равна длине
каждого из отрезков AA1 , BB1 , CC1 .
|
|
|
Решение |
Задача 57940 |
|
|
а) Для данного треугольника ABC, все углы которого меньше
120o,
найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше
120o,
взята точка O, из которой его стороны видны под углом
120o.
Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна
(a2 + b2 + c2)/2 + 2S.
|
|
|
Решение |
Задача 78230 |
|
|
Дан произвольный центрально-симметричный шестиугольник. На его сторонах, как на основаниях, построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Доказать, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]
