Какое наибольшее значение может принимать выражение     где a, b, c – попарно различные ненулевые цифры?

   Решение

Охотник рассказал приятелю, что видел в лесу волка с метровым хвостом. Тот рассказал другому приятелю, что в лесу видели волка с двухметровым хвостом. Передавая новость дальше, простые люди увеличивали длину хвоста вдвое, а творческие – втрое. В результате по телевизору сообщили о волке с хвостом длиной 864 метра. Сколько простых и сколько творческих людей "отрастили" волку хвост?

   Решение

Записаны шесть положительных несократимых дробей, сумма числителей которых равна сумме их знаменателей. Паша перевёл каждую из неправильных дробей в смешанное число. Обязательно ли найдутся два числа, у которых одинаковы либо целые части, либо дробные части?

   Решение

Сравнив дроби  ¹¹¹¹¹⁰/₁₁₁₁₁₁,  ²²²²²¹/₂₂₂₂₂₃,  ³³³³³¹/₃₃₃₃₃₄,  расположите их в порядке возрастания.

   Решение

На экране компьютера стоят в ряд 200 человек. На самом деле эта картинка составлена из 100 фрагментов, на каждом – пара: взрослый и ребёнок пониже ростом. Разрешается в каждом из фрагментов изменить масштаб, уменьшив при этом одновременно рост взрослого и ребёнка в одинаковое целое число раз (масштабы разных фрагментов можно менять независимо друг от друга). Докажите, что это можно сделать так, что на общей картинке все взрослые будут выше всех детей.

   Решение

Ваня считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например,  ⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈.  Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".

   Решение

Пусть две прямые пересекаются под углом α. Докажите, что при повороте на угол α (в одном из направлений) относительно произвольной точки одна из этих прямых перейдёт в прямую, параллельную другой.

   Решение

Разрежьте изображённую на рисунке доску на четыре одинаковые части, чтобы каждая из них содержала три заштрихованные клетки.

   Решение

Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?

   Решение

Bыпуклый n-угольник P, где  n > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник вписанный?

   Решение

Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка (определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь). Какие значения эти многочлены принимают при x = 1? Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями:
  а)  L_n(x) = F_n–1(x) + F_n+1(x)  (n ≥ 1);
  б)  F_n(x)(x² + 4) = L_n–1(x) + L_n+1(x)  (n ≥ 1);
  в)  F_2n(x) = L_n(x)F_n(x)  (n ≥ 0);
  г)  (L_n(x))² + (L_n+1(x))² = (x² + 4)F_2n+1(x)  (n ≥ 0);
  д)  F_n+2(x) + F_n–2(x) = (x² + 2)F_n(x).

   Решение

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство  P(x) > x.  Определим последовательность {b_n} следующим образом:  b₁ = 1,  b_k+1 = P(b_k)  для  k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {b_n}, делящийся на d. Докажите, что  P(x) = x + 1.

   Решение

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно, причём  ^AD/_DB = ^BE/_EC = 2  и  ∠C = 2∠DEB.
Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

   Решение

На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что  AQ = AC,  BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]      

На сторонах угла ABC, равного 120^o, отложены отрезки AB = BC = 4. Через точки A, B, C проведена окружность. Найдите её радиус.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны три точки. Из них выбираются любые две, строится серединный перпендикуляр к отрезку, их соединяющему, и все точки отражаются относительно этой прямой, затем из всех точек (старых и новых) снова выбираются какие-то две точки и вся процедура повторяется. Так делается бесконечно много раз. Доказать, что в плоскости найдётся такая прямая, что все полученные точки будут лежать по одну сторону от нее.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$. Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$.

Прислать комментарий

Решение

Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что  AQ = AC,  BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]