Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых 2x + y - 6 = 0, x - y + 4 = 0 и y + 1 = 0.

   Решение

---

Через точку X, лежащую внутри треугольника ABC, проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти отрезки равны тогда и только тогда, когда X — точка Лемуана.

   Решение

---

Даны точки A(0; - 2), B(- 2;1), C(0;0) и D(2; - 9). Укажите те из них, которые лежат на прямой 2x - 3y + 7 = 0.

   Решение

---

Улицы города расположены в трёх направлениях, так что все кварталы – равные между собой равносторонние треугольники. Правила уличного движения таковы, что через перекресток можно проехать либо прямо, либо повернув влево или вправо на 120° в ближайшую улицу. Поворачивать разрешается только на перекрёстках. Две машины выехали друг за другом из одной точки в одном направлении и едут с одинаковой скоростью, придерживаясь этих правил. Может ли случиться, что через некоторое время они на какой-то улице (не на перекрёстке) встретятся?

   Решение

---

p – простое число. Сколько существует способов раскрасить вершины правильного p-угольника в a цветов? (Раскраски, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми.)

   Решение

---

а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же.

б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?

   Решение

---

Найдите наибольшее натуральное n, при котором  n²⁰⁰ < 5³⁰⁰.

   Решение

---

Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF. Известно, что  ∠FAE = ∠BDC,  а четырёхугольники ABDF и ACDE являются вписанными.
Докажите, что прямые BF и CE параллельны.

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике ABC  (AC = BC)  угол при вершине C равен 20°. Биссектрисы углов A и B пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках A₁ и B₁. Докажите, что треугольник A₁OB₁ (где O – центр описанной окружности треугольника ABC) является равносторонним.

   Решение

---

Вневписанная окружность, соответствующая вершине A прямоугольного треугольника ABC  (∠B = 90°),  касается продолжений сторон AB, AC в точках A₁, A₂ соответственно; аналогично определим точки C₁, C₂. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые C₁C₂, A₁C₁, A₁A₂ соответственно, пересекаются в одной точке.

   Решение

---

В ряд стоят $9$ вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две из которых не находятся на одной высоте. Жук ползёт снизу вверх; когда он встречает палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх. Известно, что если жук начинает внизу первого столбика, то он закончит свой путь на девятом столбике. Всегда ли можно убрать одну из палочек так, чтобы жук в конце пути оказался наверху пятого столбика?

Например, если палочки расположены как на рисунке, то жук будет ползти по сплошной линии. Если убрать третью палочку на пути жука, то он поползёт по пунктирной линии.

   Решение

---

Даны многочлен P(x) и такие числа  a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃,  что  a₁a₂a₃ ≠ 0.  Оказалось, что  P(a₁x + b₁) + P(a₂x + b₂) = P(a₃x + b₃)  для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64359

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Даны многочлены P(x) и Q(x) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение  P(x) = Q(x)  не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение P(x + 1) = Q(x – 1) имеет хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110089

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Итерации ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть P(x) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение  P(P(x)) = 0  имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение  P(x) = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79560

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116775

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Функции. Непрерывность (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Даны многочлен P(x) и такие числа  a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃,  что  a₁a₂a₃ ≠ 0.  Оказалось, что  P(a₁x + b₁) + P(a₂x + b₂) = P(a₃x + b₃)  для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35728

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Уравнение плоскости ] [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите, что в пространстве найдётся гладкая кривая, которая пересекается с каждой плоскостью.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями