Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости отмечено N 3 различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n+1)² .

   Решение

---

В комнате находятся 85 воздушных шаров  — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный; 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?

   Решение

---

Пусть f(x)=x²+ax+b cos x . Найдите все значения параметров a и b , при которых уравнения f(x)=0 и f(f(x))=0 имеют совпадающие непустые множества действительных корней.

   Решение

---

Докажите равенства:
  а)  φ(m) φ(n) = φ((m, n)) φ([m, n]);
  б)  φ(mn) φ((m, n)) = φ(m) φ(n) (m, n).
Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.

   Решение

---

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b , а плоский угол при вершине равен α . Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по поверхности пирамиды, начинающегося и заканчивающегося в вершине основания и пересекающего все боковые рёбра пирамиды.

   Решение

---

В клетках квадрата 3×3 расставлены числа (рис. слева). Разрешается к числам, стоящим в двух соседних клетках, одновременно прибавлять одно и то же число, не обязательно положительное. Можно ли в какой-то момент получить такой квадрат с числами, как на рисунке справа? (Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону.)

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 326]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116759

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

По кругу стоит 101 мудрец. Каждый из них либо считает, что Земля вращается вокруг Юпитера, либо считает, что Юпитер вращается вокруг Земли. Один раз в минуту все мудрецы одновременно оглашают свои мнения. Сразу после этого каждый мудрец, оба соседа которого думают иначе, чем он, меняет своё мнение, а остальные – не меняют. Докажите, что через некоторое время мнения перестанут меняться.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116771

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Изначально на столе лежат 111 кусков пластилина одинаковой массы. За одну операцию можно выбрать несколько групп (возможно, одну) по одинаковому количеству кусков и в каждой группе весь пластилин слепить в один кусок. За какое наименьшее количество операций можно получить ровно 11 кусков, каждые два из которых имеют различные массы?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116845

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Шахматная раскраска ] [ Инварианты ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

В клетках квадрата 3×3 расставлены числа (рис. слева). Разрешается к числам, стоящим в двух соседних клетках, одновременно прибавлять одно и то же число, не обязательно положительное. Можно ли в какой-то момент получить такой квадрат с числами, как на рисунке справа? (Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116861

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3 Классы: 5,6

На доске записано число 61. Каждую минуту число стирают с доски и записывают на это место произведение его цифр, увеличенное на 13. После первой минуты на доске записано 19  (6·1 + 13 = 19).  Какое число можно будет прочитать на доске через час?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60901

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

С числом разрешается производить две операции: ``увеличить в два раза'' и ``увеличить на 1''. За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить
а) число 100; б) число n?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 326]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями