Версия для печати
Убрать все задачи

---

Все значения квадратного трёхчлена  ax² + bx + c  на отрезке  [0, 1]  по модулю не превосходят 1.
Какое наибольшее значение при этом может иметь величина  |a| + |b| + |c|?

   Решение

---

Внутри клетчатого прямоугольника периметра 50 клеток по границам клеток вырезана прямоугольная дырка периметра 32 клетки (дырка не содержит граничных клеток). Если разрезать эту фигуру по всем горизонтальным линиям сетки, получится 20 полосок шириной в 1 клетку. А сколько полосок получится, если вместо этого разрезать её по всем вертикальным линиям сетки? (Квадратик 1 × 1 — это тоже полоска!)

   Решение

---

На доске написано число 8ⁿ. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если n = 1989?

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 290]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107620

Темы:   [ Инварианты ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкино, а на другой – до Палкино. Боря заметил, что на каждом столбе сумма всех цифр равна 13. Каково расстояние от Ёлкино до Палкино?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108406

Темы:   [ Инварианты ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

На доске написаны числа 1 и 2. Каждый день научный консультант Выбегалло заменяет два написанных числа на их среднее арифметическое и среднее гармоническое.
а) Однажды одним из написанных чисел (каким — неизвестно) оказалось 941664/665857. Каким в этот момент было другое число?
б) Будет ли когда-нибудь написано число 35/24?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109960

Темы:   [ Полуинварианты ] [ Процессы и операции ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8

В колоде 52 карты, по 13 каждой масти. Ваня вынимает из колоды по одной карте. Вынутые карты в колоду не возвращаются. Каждый раз перед тем, как вынуть карту, Ваня загадывает какую-нибудь масть. Докажите, что если Ваня каждый раз будет загадывать масть, карт которой в колоде осталось не меньше, чем карт любой другой масти, то загаданная масть совпадет с мастью вынутой карты не менее 13 раз.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30769

Тема:   [ Инварианты ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

На доске написано число 8ⁿ. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если n = 1989?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35475

Темы:   [ Полуинварианты ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На квадратном поле 10*10 девять клеток 1*1 поросли бурьяном. После этого бурьян может распространиться на клетку, у которой не менее двух соседних клеток уже поросли бурьяном. Докажите, что тем не менее бурьян не сможет распространиться на все клетки.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 290]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями