Версия для печати
Убрать все задачи

---

На круглой поляне радиуса R растут три круглые сосны одинакового диаметра. Центры их стволов находятся на расстоянии от центра поляны в вершинах равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно из диаметрально противоположных точек поляны, обходят поляну по краю с одинаковой скоростью и в одном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят ли друг друга три человека, если они так же будут обходить поляну, выйдя из точек, находящихся в вершинах вписанного в поляну правильного треугольника?

   Решение

---

Проекции многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3, 5, 4. Площадь многоугольника — S. Доказать, что S17, 5.

   Решение

---

Дан такой набор из 2009 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных чисел, то получится тот же набор.
Найдите произведение всех чисел набора.

   Решение

---

Расстоянием между двумя произвольными вершинами дерева будем называть длину простого пути, соединяющего их. Удалённостью вершины дерева назовём сумму расстояний от неё до всех остальных вершин. Докажите, что в дереве, у которого есть две вершины с удалённостями, отличающимися на 1, нечётное число вершин.

   Решение

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30812

Темы:   [ Деревья ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8

Расстоянием между двумя произвольными вершинами дерева будем называть длину простого пути, соединяющего их. Удалённостью вершины дерева назовём сумму расстояний от неё до всех остальных вершин. Докажите, что в дереве, у которого есть две вершины с удалённостями, отличающимися на 1, нечётное число вершин.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32086

Темы:   [ Средние величины ] [ Четность и нечетность ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8,9

Компьютер может производить одну операцию: брать среднее арифметическое двух целых чисел. Даны три числа: m, n и 0, причём m и n не имеют общих делителей и  m < n.  Докажите, что с помощью компьютера из них можно получить
  а) единицу;
  б) любое целое число от 1 до n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34865

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Инварианты ]

Сложность: 4-

Во всех клетках таблицы 20×20 расставлены плюсы. Разрешается менять знак одновременно во всех клетках строки или столбца.
Можно ли, пользуясь этими операциями, получить ровно 199 минусов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58172

Темы:   [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дан выпуклый 2n-угольник A₁...A_2n. Внутри него взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей.
Докажите, что точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках A₁,..., A_2n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64516

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Для каждого натурального числа n обозначим через O(n) его наибольший нечётный делитель. Даны произвольные натуральные числа
х₁ = а  и  х₂ = b.  Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу:  x_n = O(х_n–1 + х_n–2),  где  n = 3, 4, ... .
  а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.
  б) Как найти это число, зная числа a и b?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями