Каталог по темам

Выбрано 8 задач

В окружность радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что $\angle$ A = $\angle$ C = $\angle$ E, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC, если даны его вершины A и B, прямая l, на которой лежит вершина C, и разность углов $\angle$ A - $\angle$ B = $\varphi$ .

Решение

Точка D лежит на стороне BC равнобедренного треугольника ABC (AB = CB), причём CD = ${\frac{1}{4}}$ CB, $\angle$ ACB = arccos ${\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$ , AD = ${\frac{3}{4}}$ . Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Потроить треугольник по $\angle$ A, высоте к стороне a h_a и полупериметру p.

Решение

Автор: Филипповский Г.Б.

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ при продолжении пересекает описанную около него окружность $\omega$ в точке $W$. Окружность $s$, построенная на отрезке $AH$ как на диаметре ($H$ – ортоцентр в треугольнике $ABC$), пересекает $\omega$ в точке $P$. Восстановите треугольник $ABC$, если остались точки $A$, $P$, $W$.

Решение

Автор: Розенблюм Г.В.

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее 1/5 и не более 4/5 площади K.

Решение

Число N записано в десятичной системе счисления N = . Докажите следующие признаки делимости:
а) N делится на 3 ⇔ a_n + a_n–1 + ... + a₁ + a₀ делится на 3;
б) N делится на 9 ⇔ a_n + a_n–1 + ... + a₁ + a₀ делится на 9;
в) N делится на 11 ⇔ (–1)ⁿa_n + (–1)^n–1a_n–1 + ... + a₁ + a₀ делится на 11.

Решение

Найдите сумму квадратов расстояний от точки M, взятой на диаметре некоторой окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд, если радиус окружности равен R, а расстояние от точки M до центра окружности равно a.

Решение

Задача 102508

Задача 102727

Задача 52844

Задача 52989

Задача 53622