На ребрах связного графа расставлены стрелки так, что для каждой вершины числа входящих и выходящих рёбер равны.
Докажите, что двигаясь по стрелкам, можно добраться от каждой вершины до любой другой.

   Решение

Выведите из теоремы 61013 то, что   – иррациональное число.

   Решение

Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник ABC , сторона которого равна . Основанием высоты, опущенной из вершины S , является точка O , лежащая внутри треугольника ABC . Расстояние от точки O до стороны AC равно 1. Синус угла OBA относится к синусу угла OBC как 2:1 . Площадь грани SAB равна . Найдите объём пирамиды.

   Решение

В выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника. Докажите, что диагонали равны.

   Решение

Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее. Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через точку A и делящаяся точкой A пополам.

   Решение

Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.

   Решение

В любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник. Докажите это.

   Решение

На плоскости дан прямой угол. Окружность с центром, расположенным вне этого угла, касается продолжения одной из его сторон, пересекает другую сторону в точках A и B и пересекает биссектрису этого угла в точках C и D.  AB = 4,  CD = 2.  Найдите радиус окружности.

   Решение

На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу AB в точке K. Найдите площадь треугольника BCK, если BC = a, CA = b.

   Решение

Из середины основания треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что площадь полученного таким образом параллелограмма равна половине площади треугольника.

   Решение

Точки M и N лежат на сторонах соответственно AD и BC ромба ABCD, причём DM : AM = BN : NC = 2 : 1. Найдите MN, если известно, что сторона ромба равна a, а BAD = 60^o.

   Решение

В ромбе ABCD угол при вершине A равен 60°. Точка N делит сторону AB в отношении  AN : BN = 2 : 1.  Найдите тангенс угла DNC.

   Решение

В одной из граней двугранного угла, равного ϕ , взята точка A на расстоянии a от ребра. Найдите расстояние от точки A до плоскости другой грани.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABCC = 90^o. На продолжении гипотенузы AB отложен отрезок BD, равный катету BC, и точка D соединена с C. Найдите CD, если BC = 7 и AC = 24.

   Решение

Из точки A проведены два луча, пересекающие данную окружность: один — в точках B и C, другой — в точках D и E. Известно, что AB = 7, BC = 7, AD = 10. Найдите DE.

   Решение

Через центр O вписанной окружности ω треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC и пересекающая стороны AB и AC соответственно в точках M и N.
S_ABC = ,  BC = 2,  а отрезок AO в четыре раза больше радиуса ω. Найдите периметр треугольника AMN.

   Решение

k вершин правильного n-угольника закрашены. Закраска называется почти равномерной, если для любого натурального m верно следующее условие: если M₁ – множество m расположенных подряд вершин и M₂ – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в M₁ отличается от количества закрашенных вершин в M₂ не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных n и  k ≤ n  почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множества.

   Решение

В треугольнике ABC проведены медианы AM и BP. Известно, что  ∠APB = ∠BMA,  cos∠ACB = 0,8,  BP = 1.  Найдите площадь треугольника ABC .

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 449]      

Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а противолежащий этой стороне угол равен 120^o . Найдите площадь треугольника.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведены медианы AM и BP. Известно, что  ∠APB = ∠BMA,  cos∠ACB = 0,8,  BP = 1.  Найдите площадь треугольника ABC .

Прислать комментарий

Решение

Найдите радиус наименьшего круга, в котором можно разместить треугольник со сторонами 7, 9 и 12.

Прислать комментарий

Решение

У треугольника известны стороны  a = 2,  b = 3  и площадь  S = .  Медиана, проведённая к его третьей стороне, меньше её половины.
Найдите радиус описанной окружности этого треугольника .

Прислать комментарий

Решение

В ромбе ABCD угол при вершине A равен 60°. Точка N делит сторону AB в отношении  AN : BN = 2 : 1.  Найдите тангенс угла DNC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 449]