Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существуют ли пять таких двузначных составных чисел, что каждые два из них взаимно просты?

   Решение

---

На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.
Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?

   Решение

---

Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.

   Решение

---

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h.
Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 258]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109886

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Докажите, что если a, b, c – положительные числа и  ab + bc + ca > a + b + c,  то  a + b + c > 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115591

Темы:   [ Классические неравенства ] [ Проекции оснований, сторон или вершин трапеции ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Окружность вписана в равнобедренную трапецию ABCD с основаниями  BC = a  и  AD = b.  Точка H – проекция вершины B на AD, точка P – проекция точки H на AB, точка F лежит на отрезке BH, причём  FH = AH.  Найдите AB, BH, BP, DF и расположите найденные величины по возрастанию.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111259

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Произведение положительных чисел х, у и z равно 1. Докажите, что  (2 + х)(2 + у)(2 + z) ≥ 27.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55237

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h.
Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61402

Тема:   [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Выведите из неравенства задачи 61401

  а) неравенство Коши-Буняковского:  

  б) неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным:   ≤ ;

  в) неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим:   ≤ .
  Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 258]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями