В треугольнике PQL проведена средняя линия AB, соединяющая стороны PQ и QL. Длина стороны PL равна , а синус угла PLQ равен . Окружность, проведенная через точки A, B и L, касается стороны PQ. Найдите ее радиус.

   Решение

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении  2 : 1,  считая от вершины.

   Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 122]      

Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на три равные части. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены отрезками (cм. рис.). Докажите, что эти отрезки делят друг друга на три равные части.

Прислать комментарий

Решение

Пусть C₁, A₁, B₁ – такие точки на сторонах соответственно AB, BC, CA треугольника ABC, для которых  BA₁ :  A₁C = p : 1,  CB₁ :  B₁A = q : 1,
AC₁ :  C₁B = r : 1.  Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми AA₁, BB₁ и CC₁, к площади треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, AC треугольника ABC взяли такие точки C₁, B₁ соответственно, что  BB₁ ⊥ CC₁.  Точка X внутри треугольника такова, что
∠XBC = ∠B₁BA,  ∠XCB = ∠C₁CA.  Докажите, что  ∠B₁XC₁ = 90° – ∠A.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении  2 : 1,  считая от вершины.

Прислать комментарий

Решение

Дана трапеция ABCD с основаниями  AD = 3  и  BC = 18.  Точка M расположена на диагонали AC, причём  AM : MC = 1 : 2.  Прямая, проходящая через точку M параллельно основаниям трапеции, пересекает диагональ BD в точке N. Найдите MN.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 122]