В пространстве с декартовой системой координат дан прямоугольный параллелепипед, вершины которого имеют целочисленные координаты. Его объём равен 2011. Докажите, что рёбра параллелепипеда параллельны координатным осям.

   Решение

На отрезке MN построены подобные, одинаково ориентированные треугольники AMN, NBM и MNC (см. рис.).
Докажите, что треугольник ABC подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудален от точек M и N.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 93]      

Вершины K, E, M прямоугольника KCEM лежат соответственно на сторонах AB, CD, AD равнобедренной трапеции ABCD  (BC || AD).
Найдите углы трапеции и отношение площадей трапеции и прямоугольника, если  AM = 3BC,  KM = 4KC.

Прислать комментарий

Решение

Вершина D квадрата ABCD лежит на стороне EF равнобедренной трапеции BCEF  (CE || BF).
Найдите углы трапеции и отношение площадей трапеции и квадрата, если  4CE = BF.

Прислать комментарий

Решение

Вершины K, H, E прямоугольника KBHE лежат соответственно на сторонах AB, CD, AD равнобедренной трапеции ABCD  (BC || AD).
Найдите углы трапеции и отношение площадей трапеции и прямоугольника, если  BH = 5KB,  BC = ³/₅ AE.

Прислать комментарий

Решение

На отрезке MN построены подобные, одинаково ориентированные треугольники AMN, NBM и MNC (см. рис.).
Докажите, что треугольник ABC подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудален от точек M и N.

Прислать комментарий

Решение

а) На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены прямоугольные треугольники ABC₁ и AB₁C, причём  ∠C₁ = ∠B₁ = 90°,
∠ABC₁ = ∠ACB₁ = φ,  M – середина BC. Докажите, что  MB₁ = MC₁ и  ∠B₁MC₁ = 2φ.

б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 93]