В треугольнике ABC угол C равен 75°, а угол B равен 60°. Вершина M равнобедренного прямоугольного треугольника BCM с гипотенузой BC расположена внутри треугольника ABC. Найдите угол MAC.

   Решение

Четыре мышонка: Белый, Серый, Толстый и Тонкий делили головку сыра. Они разрезали её на 4 внешне одинаковые дольки. В некоторых дольках оказалось больше дырок, поэтому долька Тонкого весила на 20 г меньше дольки Толстого, а долька Белого — на 8 г меньше дольки Серого. Однако Белый не расстроился, т.к. его долька весила ровно четверть от массы всего сыра.

Серый отрезал от своего куска 8 г, а Толстый — 20 г. Как мышата должны поделить образовавшиеся 28 г сыра, чтобы у всех сыра стало поровну? Не забудьте пояснить свой ответ.

   Решение

Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

   Решение

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.

   Решение

Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

   Решение

В треугольнике ABC на сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что  BF = 2CF,  CE = 2AE  и угол DEF – прямой.
Докажите, что DE – биссектриса угла ADF.

   Решение

Можно ли выписать в ряд десять чисел так, чтобы сумма любых пяти чисел подряд была бы положительна, а сумма любых семи подряд отрицательна?

   Решение

Прямая, проходящая через вершину A квадрата ABCD, пересекает сторону CD в точке E и прямую BC в точке F. Докажите, что  ¹/_AE² + ¹/_AF² = ¹/_AB².

   Решение

В треугольной пирамиде SABC высота SO проходит через точку O – центр круга, вписанного в основание ABC пирамиды. Известно, что SAC = 60^o , SCA = 45^o , а отношение площади треугольника AOB к площади треугольника ABC равно . Найдите угол BSC .

   Решение

ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Докажите, что a + b < c + h_c.

   Решение

Обозначим через  L(m)  длину периода дроби   ¹/_m. Докажите, что если  (m₁, 10) = 1  и  (m₂, 10) = 1,  то справедливо равенство  L(m₁m₂) = [L(m₁), L(m₂)].
Чему равна длина периода дроби  ¹/_m1 + ¹/_m2?

   Решение

В треугольнике ABC  ∠A = 60°,  точки M и N на сторонах AB и AC соответственно таковы, что центр описанной окружности треугольника ABC делит отрезок MN пополам. Найдите отношение  AN : MB.

   Решение

Точка $X$ расположена внутри параллелограмма $ABCD$. Докажите, что $S_{ABX}+S_{CDX}=S_{BCX}+S_{ADX}$.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 9759]      

Пусть E и F — середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми AE, ED, BF и FC, если известно, что площадь ABCD равна S.

Прислать комментарий

Решение

Многоугольник описан около окружности радиуса r. Докажите, что его площадь равна pr, где p — полупериметр многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Точка $X$ расположена внутри параллелограмма $ABCD$. Докажите, что $S_{ABX}+S_{CDX}=S_{BCX}+S_{ADX}$.

Прислать комментарий

Решение

Пусть  A₁, B₁, C₁ и D₁ — середины сторон  CD, DA, AB, BC квадрата ABCD, площадь которого равна S. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми  AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

б) Докажите, что если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 9759]