Каталог по темам

Выбрано 13 задач

В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что 2AM $\ge$ (b + c)cos( $\alpha$ /2).

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

Решение

По положительным числам х и у вычисляют а = ¹/_y и b = y + ¹/_x. После этого находят С – наименьшее число из трёх: x, a и b.
Какое наибольшее значение может принимать C?

Решение

Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C.
Найдите геометрическое место таких точек M, что радиусы описанных окружностей треугольников AMB и CMB равны.

Решение

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников A₁A₂B₃, A₁B₂A₃ и B₁A₂A₃ проходят через одну точку, то и описанные окружности треугольников B₁B₂A₃, B₁A₂B₃ и A₁B₂B₃ пересекаются в одной точке.

Решение

Сфера радиуса R делит каждое из рёбер SA , SC , AB и BC треугольной пирамиды SABC на три равные части и проходит через середины рёбер AC и SB . Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины S .

Решение

Докажите, что если плоскости $\alpha_{1}^{}$ и $\alpha_{2}^{}$ пересекаются, то центральное проектирование $\alpha_{1}^{}$ на $\alpha_{2}^{}$ с центром O задает взаимно однозначное отображение плоскости $\alpha_{1}^{}$ с выкинутой прямой l₁ на плоскость $\alpha_{2}^{}$ с выкинутой прямой l₂, где l₁ и l₂ — прямые пересечения плоскостей $\alpha_{1}^{}$ и $\alpha_{2}^{}$ соответственно с плоскостями, проходящими через O и параллельными $\alpha_{2}^{}$ и $\alpha_{1}^{}$ . При этом на l₁ отображение не определено.

Решение

а) Через точку P проводятся всевозможные секущие окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD.

Решение

Докажите, что если (ABCX) = (ABCY), то X = Y (все точки попарно различны, кроме, быть может, точек X и Y, и лежат на одной прямой).

Решение

На окружности фиксированы точки A и B, а точка C движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC.

Решение

Четырехугольник ABCD выпуклый; точки A₁, B₁, C₁ и D₁ таковы, что AB||C₁D₁, AC||B₁D₁ и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник A₁B₁C₁D₁ тоже выпуклый, причем $\angle$ A + $\angle$ C₁ = 180^o.

Решение

Даны окружность S, точка P, расположенная вне S, и прямая l, проходящая через P и пересекающая окружность в точках A и B. Точку пересечения касательных к окружности в точках A и B обозначим через K.
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите, что геометрическим местом точек пересечения отличных от AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N, является некоторая прямая, проходящая через K, из которой выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что все полученные прямые проходят через одну точку, и эта точка лежит на l.

Решение

Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.

Решение

Задача 103933

Задача 116089

Задача 110792

Задача 57035

Задача 57036