Каталог по темам

Задачи

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 500]

Задача 57028

Тема:

[

Вписанные четырехугольники (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 57046

Тема:

[

Теорема Птолемея

]

Сложность: 5
Классы: 9

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC}{BD}}$ = $\displaystyle {\frac{AB\cdot AD+CB\cdot CD}{BA\cdot BC+DA\cdot DC}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 57048

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны d_a, d_b и d_c. Докажите, что d_a + d_b + d_c = R + r.

Прислать комментарий Решение

Задача 57049

Тема:

[

Теорема Птолемея

]

Сложность: 5
Классы: 9

Вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Пусть Q — середина отрезка A₁B₁. Докажите, что $\angle$ B₁C₁C = $\angle$ QC₁A₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 57050

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
Темы:	[	Неравенства с биссектрисами	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AB + AC $\leq$ 2AD.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 500]