Каталог по темам

Выбрано 11 задач

Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.

Любую конечную систему точек плоскости можно покрыть несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше количества точек и расстояние между любыми двумя из которых больше 1. Докажите это.

Расстояние между двумя кругами — это расстояние между их ближайшими точками.

Решение

Общие внешние касательные к парам окружностей S₁ и S₂, S₂ и S₃, S₃ и S₁ пересекаются в точках A, B и C соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

Решение

Какое слагаемое в разложении (1 + )¹⁰⁰ по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?

Решение

Постройте четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность, зная длины двух соседних сторон AB и AD и углы при вершинах B и D.

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте квадрат по четырём точкам, лежащим на четырёх его сторонах.

Решение

С помощью циркуля и линейки проведите прямую, параллельную основаниям трапеции, так, чтобы отрезок этой прямой внутри трапеции делился бы диагоналями на три равные части.

Решение

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

Решение

Пусть A₁, B₁,..., F₁ — середины сторон AB, BC,..., FA произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников A₁C₁E₁ и B₁D₁F₁ совпадают.

Решение

n отрезков A₁ B₁ , A₂ B₂ , ... , A_n B_n (рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку G (не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках A₁ , A₂ , ... , A_n . Докажите, что

++...+=n.

Решение

Постройте вписанный четырехугольник по четырем сторонам (Брахмагупта).

Решение

Задача 54592

Задача 57248

Задача 57825

Задача 54542

Задача 67340