Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны d_a, d_b и d_c. Докажите, что  d_a + d_b + d_c = R + r.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте выпуклый четырёхугольник по серединам его трёх равных сторон.

   Решение

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.

   Решение

Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9.
Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

   Решение

Дан трехгранный угол с вершиной O. Можно ли найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы OAB, OBA, OBC, OCB, OAC, OCA были острыми?

   Решение

Две окружности разных радиусов касаются в точке C одной прямой и расположены по одну сторону от неё. Отрезок CD – диаметр большей окружности. Из точки D проведены две прямые, касающиеся меньшей окружности в точках A и B. Прямая, проходящая через точки C и A, образует с общей касательной к окружностям в точке C угол 75° и пересекает большую окружность в точке M. Известно, что  AM = .  Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных DA, DB и дугой ACB меньшей окружности.

   Решение

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что  AB + AC 2AD.

   Решение

Игра происходит на бесконечной плоскости. Играют двое: один передвигает одну фишку-волка, другой – 50 фишек-овец. После хода волка ходит одна из овец, затем, после следующего хода волка, опять какая-нибудь из овец и т. д. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более, чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции волк поймает хотя бы одну овцу?

   Решение

На сторонах произвольного остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности. При этом образуется три к внешнихк криволинейных треугольника и один к внутреннийк (рис.). Докажите, что если из суммы площадей к внешнихк треугольников вычесть площадь к внутреннегок треугольника, то получится удвоенная площадь треугольника ABC.

   Решение

Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.

   Решение

Докажите. что если в трапеции ABCD середину M одной боковой стороны AB соединить с концами другой боковой стороны CD, то площадь полученного треугольника CMD составит половину площади трапеции.

   Решение

Докажите, что  n³ – n  делится на 24 при любом нечётном n.

   Решение

Точки A', B' и C' симметричны некоторой точке P относительно сторон BC, CA и AB треугольника ABC.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников AB'C', A'BC', A'B'C и ABC имеют общую точку.
б) Докажите, что описанные окружности треугольников A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C' имеют общую точку Q.
в) Пусть I, J, K и O — центры описанных окружностей треугольников  A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C'. Докажите, что  QI : OI = QJ : OJ = QK : OK.

   Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точка X такова, что BAX = CDX = 90^o. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD лежит на прямой XO.

   Решение

а) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади S и периметра P можно поместить круг радиуса S/P.
б) Внутри выпуклого многоугольника площади S₁ и периметра P₁ расположен выпуклый многоугольник площади S₂ и периметра P₂. Докажите, что  2S₁/P₁ > S₂/P₂.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      

Внутри квадрата со стороной 1 даны n точек. Докажите, что:
а) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках или вершинах квадрата не превосходит  1/(2(n + 1));
б) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках не превосходит 1/(n - 2).

Прислать комментарий

Решение

а) В круг площади S вписан правильный n-угольник площади S₁, а около этого круга описан правильный n-угольник площади S₂. Докажите, что  S² > S₁S₂.
б) В окружность, длина которой равна L, вписан правильный n-угольник периметра P₁, а около этой окружности описан правильный n-угольник периметра P₂. Докажите, что  L² < P₁P₂.

Прислать комментарий

Решение

Многоугольник площади B вписан в окружность площади A и описан вокруг окружности площади C. Докажите, что  2B A + C.

Прислать комментарий

Решение

В круг радиуса 1 помещено два треугольника, площадь каждого из которых больше 1. Докажите, что эти треугольники пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади S и периметра P можно поместить круг радиуса S/P.
б) Внутри выпуклого многоугольника площади S₁ и периметра P₁ расположен выпуклый многоугольник площади S₂ и периметра P₂. Докажите, что  2S₁/P₁ > S₂/P₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]