Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
Дан угол в 30o. Постройте окружность радиуса 2,5, касающуюся одной стороны этого угла и имеющую центр на другой его стороне. Найдите расстояние от центра окружности до вершины угла.
В прямоугольном листе бумаги сделали несколько непересекающихся круглых дыр. На дырявом листке отметили две точки, находящиеся на расстоянии d друг от друга. Докажите, что на дырявом листке можно нарисовать кривую длины меньше 1,6d, соединяющую данные точки.
Сторона основания ABCD правильной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 2a , боковое ребро – a . Рассматриваются отрезки с концами на диагонали AD1 грани AA1D1D и диагонали DB1 призмы, параллельные плоскости AA1B1B . а) Один из таких отрезков проведён через точку M диагонали AD1 , для которой AM:AD1 = 2:3 . Найдите его длину. б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.
Дан произвольный треугольник ABC и точка X вне его. AM, BN, CQ — медианы треугольника ABC. Доказать, что площадь одного из треугольников XAM, XBN, XCQ равна сумме площадей двух других.
Правильную четырёхугольную пирамиду PQRST с вершиной P пересекает плоскость, проходящая через основание M высоты PM , перпендикулярная грани SPT и параллельная ребру ST . Высота PM в два раза больше ребра ST . Найдите отношение площади получившегося сечения к площади основания пирамиды.
Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину другой стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный.
Дана плоская замкнутая ломаная периметра 1. Доказать, что можно начертить круг
радиусом
, покрывающий всю ломаную.
а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?
б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?
В конусе расположены два одинаковых шара радиуса r , касающиеся основания конуса в точках, симметричных относительно центра основания. Каждый из шаров касается боковой поверхности конуса и другого шара. Найдите угол между образующей конуса и основанием, при которой объём конуса наименьший.
Трапеция KLMN с основаниями KN и LM вписана в окружность, центр которой лежит на основании KN. Диагональ KM трапеции равна 4, а боковая сторона KL равна 3. Найдите основание LM.
В график функции, симметричной относительно оси ординат, вписана "ёлочка" высотой 1. Известно, что "ветки" ёлочки составляют угол 450 с вертикалью. Найдите периметр ёлочки (т.е. сумму длин всех зеленых отрезков).
В конусе расположены два шара единичного радиуса, центры которых находятся на оси симметрии конуса. Один из шаров касается боковой поверхности конуса, а другой – основания конуса и первого шара. Найдите угол между образующей конуса и основанием, при котором объём конуса наименьший.
В треугольнике ABC с периметром 2p острый угол BAC
равен . Окружность с центром в точке O касается стороны BC и
продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Точка D
лежит внутри отрезка AK, AD = a. Найдите площадь треугольника DOK.
В Чикаго живут 36 гангстеров, некоторые из которых враждуют между собой. Каждый гангстер состоит в нескольких бандах, причём нет двух банд с совпадающим составом. Оказалось, что гангстеры, состоящие в одной банде, не враждуют, но если гангстер не состоит в какой-то банде, то он враждует хотя бы с одним её участником. Какое наибольшее число банд могло быть в Чикаго?
В парламенте 200 депутатов. В процессе заседания произошло 200 потасовок, в каждой из которой участвовали некоторые два депутата.
Докажите, что можно объединить в комиссию 67 депутатов, из которых никакие два не выясняли между собой отношения в потасовке.
В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. В области, ограниченной отрезками AB, AC и меньшей дугой BC, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает AB.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]
Задача 116491 |
|
В окружности с центром O проведена хорда AB и радиус OK, пересекающий её под прямым углом в точке M. На большей дуге AB окружности выбрана точка P, отличная от середины этой дуги. Прямая PM вторично пересекает окружность в точке Q, а прямая PK пересекает AB в точке R. Докажите, что KR > MQ.
|
|
Решение |
Задача 57477 |
|
В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. В области, ограниченной отрезками AB, AC и меньшей дугой BC, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает AB.
|
|
Решение |
Задача 77883 |
|
|
Дана плоская замкнутая ломаная периметра 1. Доказать, что можно начертить круг
радиусом
, покрывающий всю ломаную.
|
|
|
Решение |
Задача 77912 |
|
|
В треугольник вписана окружность. Около неё описан квадрат. Докажите, что вне треугольника лежит меньше половины периметра квадрата.
|
|
|
Решение |
Задача 77947 |
|
|
ABC разбит прямой BD на два треугольника. Докажите, что сумма
радиусов окружностей, вписанных в
ABD и
DBC, больше радиуса
окружности, вписанной в
ABC.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]
