Каталог по темам

Задачи

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 258]

Задача 97781

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Прокопьев А.

а) Доказать, что для любых положительных чисел x₁, x₂, ..., x_k (k > 3) выполняется неравенство:

б) Доказать, что это неравенство ни для какого k > 3 нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного k нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из k положительных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97921

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

Докажите, что при любом a имеет место неравенство: 3(1 + a² + a⁴) ≥ (1 + a + a²)².

Прислать комментарий

Решение

Задача 30913

Темы:	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3
Классы: 6,7

Докажите, что 100! < 50¹⁰⁰.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35495

Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Известно, что a⁵ – a³ + a = 2. Докажите, что a⁶ > 3.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57524

Темы:	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными стороной a и углом α.
Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон b и c?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 258]