Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Комбинаторная геометрия >> Системы точек и отрезков >> Центр масс
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 28 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что из боковых граней четырёхугольной пирамиды, основанием которой служит параллелограмм, можно составить треугольную пирамиду, причём её объём вдвое меньше объёма исходной четырёхугольной пирамиды.

Вниз   Решение

Автор: Акопян А.В.

Окружность, проходящая через вершины $B$ и $D$ четырехугольника $ABCD$, пересекает его стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $K$ и $M$, пересекает прямую $AC$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $L$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение

а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников  AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются в одной точке.
б) Точки A1, B1 и C1 перемещаются по прямым BC, CA и AB так, что все треугольники A1B1C1 подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников  AB1C1, A1BC1 и A1B1C остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.)

ВверхВниз   Решение

В треугольник, у которого основание равно 30, а высота – 10, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Найдите гипотенузу.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.

ВверхВниз   Решение

Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A1, B1, C1 — на прямой l1. Докажите, что точки пересечения прямых AB1 и BA1, BC1 и CB1, CA1 и AC1 лежат на одной прямой (Папп).

ВверхВниз   Решение

Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, разбивает её на две равновеликие части.

ВверхВниз   Решение

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A1, B1 и C1. Докажите, что если описанные окружности треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения высот треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение

На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P и площади S. Закрасили каждый круг радиуса R с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника. Найдите площадь закрашенной фигуры.

ВверхВниз   Решение

Окружность разделена точками A, B, C, D так, что  ⌣AB : ⌣ BC : ⌣ CD : ⌣ DA = 3 : 2 : 13 : 7.  Хорды AD и BC продолжены до пересечения в точке M.
Найдите угол AMB.

ВверхВниз   Решение

Угол между плоскостями равен α . Найдите площадь ортогональной проекции правильного шестиугольника со стороной 1, лежащего в одной из плоскостей, на другую плоскость.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что биссектриса угла A перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей треугольника.

ВверхВниз   Решение

Стороны выпуклого многоугольника, периметр которого равен 12, отодвигаются на расстояние d = 1 во внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника увеличится по крайней мере на 15.

ВверхВниз   Решение

Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей?

ВверхВниз   Решение

Периметр треугольника ABC равен 8. В треугольник вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная стороне AB. Отрезок этой касательной, заключённый между сторонами AC и CB, равен 1. Найдите сторону AB.

ВверхВниз   Решение

На трех отрезках OA, OB и OC одинаковой длины (точка B лежит внутри угла AOC) как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади (обычного) треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение

Точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC; R — произвольная точка. Прямые AR, BR и CR пересекают описанную окружность в точках A1, B1 и C1. Докажите, что точки пересечения прямых MA1 и BC, MB1 и CA, MC1 и AB лежат на одной прямой, проходящей через точку R.

ВверхВниз   Решение

Многоугольник имеет центр симметрии O. Докажите, что сумма расстояний до вершин минимальна для точки O.

ВверхВниз   Решение

Внутри угла расположены три окружности S1, S2, S3, каждая из которых касается двух сторон угла, причем окружность S2 касается внешним образом окружностей S1 и S3. Известно, что радиус окружности S1 равен 1, а радиус окружности S3 равен 9. Чему равен радиус окружности радиус окружности S2?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что касательная к графику функции f (x), построенная в точке с координатами (x0;f (x0)) пересекает ось Ox в точке с координатой

x0 - $\displaystyle {\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}}$.


ВверхВниз   Решение

Метод Ньютона (см. задачу 9.77) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения f (x) = 0. Для многочлена f (x) = x(x - 1)(x + 1) найдите начальное условие x0 такое, что f (x0)$ \ne$x0 и x2 = x0.

ВверхВниз   Решение

Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный наименьшему углу этого треугольника.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника меньше его периметра, но больше полупериметра.

ВверхВниз   Решение

Постройте ромб, две стороны которого лежат на двух данных параллельных прямых, а две другие проходят через две данные точки.

ВверхВниз   Решение

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, пересекающую две стороны данного треугольника так, чтобы точки пересечения и концы третьей стороны находились на одной окружности.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что медианы треугольника ABC пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]      

  с решениями  

Задача 57750

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 2
Классы: 9

Докажите, что медианы треугольника ABC пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78070

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 3-
Классы: 10,11

В выпуклом четырехугольнике ABCD взят четырехугольник KLMN, образованный центрами тяжести треугольников ABC, BCD, DBA и CDA. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника KLMN.
Прислать комментарий     Решение

Задача 35157

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Из круга S радиуса 1 вырезали круг S' радиуса 1/2, граница которого проходит через центр исходного круга. Определите, где находится центр тяжести полученной фигуры F.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57747

Тема:   [ Основные свойства центра масс ]
Сложность: 3
Классы: 9

а) Докажите, что центр масс существует и единствен для любой системы точек.
б) Докажите, что если X — произвольная точка, а O — центр масс точек X1,..., Xn с массами m1,..., mn, то $ \overrightarrow{XO}$ = $ {\frac{1}{m_1+\ldots+m_n}}$(m1$ \overrightarrow{XX_1}$ +...+ mn$ \overrightarrow{XX_n}$).
Прислать комментарий     Решение

Задача 57748

Тема:   [ Основные свойства центра масс ]
Сложность: 3
Классы: 9

Докажите, что центр масс системы точек X1,..., Xn, Y1,..., Ym с массами a1,..., an, b1,..., bm совпадает с центром масс двух точек — центра масс X первой системы с массой a1 +...+ an и центра масс Y второй системы с массой b1 +...+ bm.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .