ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Тема: Все темы >> Геометрия >> Комбинаторная геометрия >> Системы точек и отрезков >> Центр масс
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что величина S$\scriptstyle \omega$, введенная в задаче 14.41B, обладает следующими свойствами:
а) SA = $ {\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$, SB = $ {\frac{c^2+a^2-b^2}{2}}$, SC = $ {\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}$.
б) SA + SB = c2, SB + SC = a2, SC + SA = b2.
в) SA + SB + SC = S$\scriptstyle \varphi$, где $ \varphi$ — угол Брокара.
г) SASB + SBSC + SCSA = 4S2.
д) SASBSC = 4S2S$\scriptstyle \varphi$ - (abc)2.

   Решение

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 79]      

  с решениями  

Задача 57790

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Пусть ($ \alpha_{1}^{}$,$ \beta_{1}^{}$,$ \gamma_{1}^{}$) и ($ \alpha_{2}^{}$,$ \beta_{2}^{}$,$ \gamma_{2}^{}$) — абсолютные барицентрические координаты точек M и N. Докажите, что

MN2 = SA($\displaystyle \alpha_{1}^{}$ - $\displaystyle \alpha_{2}^{}$)2 + SB($\displaystyle \beta_{1}^{}$ - $\displaystyle \beta_{2}^{}$)2 + SC($\displaystyle \gamma_{1}^{}$ - $\displaystyle \gamma_{2}^{}$)2,

где S$\scriptstyle \omega$ = 2Sctg$ \omega$ для произвольного угла $ \omega$, A, B, C — углы данного треугольника, а S — его площадь.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57791

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что величина S$\scriptstyle \omega$, введенная в задаче 14.41B, обладает следующими свойствами:
а) SA = $ {\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$, SB = $ {\frac{c^2+a^2-b^2}{2}}$, SC = $ {\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}$.
б) SA + SB = c2, SB + SC = a2, SC + SA = b2.
в) SA + SB + SC = S$\scriptstyle \varphi$, где $ \varphi$ — угол Брокара.
г) SASB + SBSC + SCSA = 4S2.
д) SASBSC = 4S2S$\scriptstyle \varphi$ - (abc)2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57792

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прямая l проходит через точку X с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$). Пусть da, db, dc — расстояния от вершин A, B, C до прямой l с учетом знака (для точек, лежащих по разные стороны от прямой l, знаки разные). Докажите, что da$ \alpha$ + db$ \beta$ + dc$ \gamma$ = 0.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57799

Тема:   [ Трилинейные координаты ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

На сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Найдите трилинейные координаты этой точки.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57793

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Прямая l касается вписанной окружности треугольника ABC. Пусть $ \delta_{a}^{}$, $ \delta_{b}^{}$, $ \delta_{c}^{}$ — расстояния от прямой l до точек A, B, C с учетом знака (расстояние положительно, если точка и центр вписанной окружности лежат по одну сторону от прямой l; в противном случае расстояние отрциательно). Докажите, что a$ \delta_{a}^{}$ + b$ \delta_{b}^{}$ + c$ \delta_{c}^{}$ = 2SABC.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 79]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам