Каталог по темам

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 79]

Задача 57777

Тема:

[

Центр масс (прочее)

]

Сложность: 6
Классы: 9

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K и L так, что BK : KC = CL : LD. Докажите, что центр масс треугольника AKL лежит на диагонали BD.

Прислать комментарий Решение

Задача 57787

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

а) Докажите, что точки с барицентрическими координатами ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ) и ( $\alpha^{-1}_{}$ : $\beta^{-1}_{}$ : $\gamma^{-1}_{}$ ) изотомически сопряжены относительно треугольника ABC.
б) Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c. Докажите, что точки с барицентрическими координатами ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ) и (a²/ $\alpha$ : b²/ $\beta$ : c²/ $\gamma$ ) изогонально сопряжены относительно треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 57788

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Две прямые заданы в барицентрических координатах уравнениями a₁ $\alpha$ + b₁ $\beta$ + c₁ $\gamma$ = 0 и a₂ $\alpha$ + b₂ $\beta$ + c₂ $\gamma$ = 0.
а) Докажите, что точка пересечения этих прямых имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \left(\vphantom{\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatr... ..._2 \end{vmatrix}: \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}\right.$ $\displaystyle \begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatr... ..._2 \end{vmatrix}: \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}\right)$ .

б) Докажите, что эти прямые параллельны тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}$ + $\displaystyle \begin{vmatrix}c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}$ + $\displaystyle \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$ = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57797

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

На сторонах AD и DC выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P и Q так, что $\angle$ ABP = $\angle$ CBQ. Отрезки AQ и CP пересекаются в точке E. Докажите, что $\angle$ ABE = $\angle$ CBD.

Прислать комментарий Решение

Задача 57800

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Найдите уравнения в трилинейных координатах для: а) описанной окружности; б) вписанной окружности; в) вневписанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 79]