Каталог по темам

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 79]

Задача 57790

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Пусть ( $\alpha_{1}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ , $\gamma_{1}^{}$ ) и ( $\alpha_{2}^{}$ , $\beta_{2}^{}$ , $\gamma_{2}^{}$ ) — абсолютные барицентрические координаты точек M и N. Докажите, что

MN² = S_A( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ - $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ )² + S_B( $\displaystyle \beta_{1}^{}$ - $\displaystyle \beta_{2}^{}$ )² + S_C( $\displaystyle \gamma_{1}^{}$ - $\displaystyle \gamma_{2}^{}$ )²,

где S = 2Sctg $\omega$ для произвольного угла $\omega$ , A, B, C — углы данного треугольника, а S — его площадь.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57791

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что величина S, введенная в задаче 14.41B, обладает следующими свойствами:
а) S_A = ${\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$ , S_B = ${\frac{c^2+a^2-b^2}{2}}$ , S_C = ${\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}$ .
б) S_A + S_B = c², S_B + S_C = a², S_C + S_A = b².
в) S_A + S_B + S_C = S, где $\varphi$ — угол Брокара.
г) S_AS_B + S_BS_C + S_CS_A = 4S².
д) S_AS_BS_C = 4S²S - (abc)².

Прислать комментарий Решение

Задача 57792

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прямая l проходит через точку X с барицентрическими координатами ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ). Пусть d_a, d_b, d_c — расстояния от вершин A, B, C до прямой l с учетом знака (для точек, лежащих по разные стороны от прямой l, знаки разные). Докажите, что d_a $\alpha$ + d_b $\beta$ + d_c $\gamma$ = 0.

Прислать комментарий Решение

Задача 57799

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

На сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники ABC₁, AB₁C и A₁BC. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Найдите трилинейные координаты этой точки.

Прислать комментарий Решение

Задача 57793

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прямая l касается вписанной окружности треугольника ABC. Пусть $\delta_{a}^{}$ , $\delta_{b}^{}$ , $\delta_{c}^{}$ — расстояния от прямой l до точек A, B, C с учетом знака (расстояние положительно, если точка и центр вписанной окружности лежат по одну сторону от прямой l; в противном случае расстояние отрциательно). Докажите, что a $\delta_{a}^{}$ + b $\delta_{b}^{}$ + c $\delta_{c}^{}$ = 2S_ABC.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 79]