Каталог по темам

Выбрано 5 задач

Каждое ребро правильного тетраэдра разделено на три равные части. Через каждую полученную точку деления проведены две плоскости, параллельные соответственно двум граням тетраэдра, не проходящим через эту точку. На сколько частей построенные плоскости разбивают тетраэдр?

Решение

Автор: Богданов И.И.

Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что AD = BC. Пусть M и N – середины сторон AB и CD. Докажите, что треугольник MNK тупоугольный.

Решение

Определение. Последовательность чисел a₀, a₁,...,a_n,..., которая удовлетворяет с заданными p и q соотношению

a_n+2=pa_n+1+qa_n

(n=0,1,2,...)

(11.2)

называется линейной рекуррентной (возвратной) последовательностью второго порядка.
Уравнение

x ²-px-q=0

(11.3)

называется характеристическим уравнением последовательности (a _n).
Докажите, что если числа a₀, a₁ фиксированы, то все остальные члены последовательности {a_n} определяются однозначно.

Решение

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. На касательной в точке H к описанной окружности ω_A треугольника BHC взята точка X_A, что AH = AX_A и H ≠ X_A. Аналогично определены точки X_B и X_C. Докажите, что треугольник X_AX_BX_C и ортотреугольник треугольника ABC подобны.

Решение

Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, на другой — точка B, причем $\angle$ AKB = 90^o. Докажите, что AB = 2R.

Решение

Задача 57808

Задача 57809

Задача 57810

Задача 57833

Задача 57835