Дан треугольник ABC площади 1. На медианах AK, BL и CN взяты точки P, Q и R так, что  AP = PK,  BQ : QL = 1 : 2,  CR : RN = 5 : 4.  Найдите площадь треугольника PQR.

   Решение

В Анчурии готовятся президентские выборы, в которых хочет победить президент Мирафлорес. Ровно половина многочисленных избирателей поддерживает Мирафлореса, а другая половина – Дика Малони. Мирафлорес тоже является избирателем. По закону он имеет право поделить всех избирателей на два избирательных округа по своему усмотрению. В каждом из округов голосование проводится следующим образом: каждый избиратель отмечает на бюллетене имя своего кандидата; все бюллетени помещаются в урну. Затем из урны достаётся один случайный бюллетень, и тот, чьё имя на нём отмечено, победит в этом округе. Кандидат побеждает на выборах, только если победит в обоих округах. Если победитель не выявился, назначается следующий тур голосования по тем же правилам. Как Мирафлорес должен поделить избирателей, чтобы максимизировать вероятность своей победы на первом туре?

   Решение

Радиус сектора равен r, а хорда его дуги равна a. Найдите радиус окружности, вписанной в этот сектор.

   Решение

Докажите, что если какая-либо хорда выпуклой фигуры делит её на две части равного периметра, но разной площади, то существует выпуклая фигура , имеющая тот же периметр, что и , но большую площадь.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

Докажите, что для любой невыпуклой фигуры существует выпуклая фигура с меньшим периметром и большей площадью.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если существует фигура , площадь которой не меньше площади фигуры , а периметр — меньше, то существует фигура того же периметра, что и , но большей площади.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если какая-либо хорда выпуклой фигуры делит её на две части равного периметра, но разной площади, то существует выпуклая фигура , имеющая тот же периметр, что и , но большую площадь.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если выпуклая фигура отлична от круга, то существует фигура , имеющая тот же периметр, что и , но большую площадь.

Прислать комментарий

Решение

а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку.
б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую точку (теорема Хелли).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]