Окружность S касается равных сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что середина отрезка PK является центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Сфера радиуса 13 касается граней ABCD , AA1D1D и AA1B1B куба ABCDA1B1C1D1 . Вторая сфера радиуса 5 касается граней ABCD , AA1D1D и CC1D1D куба и касается первой сферы. На ребре AA1 взята точка L , на ребре DD1 – точка K так, что DK:KD1=1:10 . Плоскость C1KL пересекает первую сферу по окружности, радиус которой в 2,6 раза больше радиуса окружности, по которой эта плоскость пересекает вторую сферу. Найдите отношение AL:LA1 .

   Решение

С помощью циркуля и линейки в данный треугольник впишите прямоугольник с данным отношением сторон так, чтобы две вершины прямоугольника лежали на боковых сторонах треугольника, а две другие — на его основании.

   Решение

Прямоугольник размером 2n×2m замостили костями домино 1×2. Докажите, что на этот слой костей можно положить второй слой так, что ни одна кость второго слоя не совпадает с костью первого слоя.

   Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 121]      

Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 32 так, что каждое число использовалось дважды. Докажите, что можно выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, так что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдется хотя бы по две выбранные клетки.

Прислать комментарий

Решение

а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая – только одним гвоздём?
б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.

Прислать комментарий

Решение

Из шахматной доски со стороной а) 2ⁿ; б) 6n + 1 выброшена одна клетка. Докажите, что оставшуюся часть доски можно замостить плитками, изображенными на рис.

Прислать комментарий

Решение

Вырежьте из обычной шахматной доски одну клетку так, чтобы оставшуюся часть можно было замостить плитками размером 1×3.

Прислать комментарий

Решение

Прямоугольник размером 2n×2m замостили костями домино 1×2. Докажите, что на этот слой костей можно положить второй слой так, что ни одна кость второго слоя не совпадает с костью первого слоя.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 121]