Представьте в виде композиции дробно-линейного отображения   w =   и комплексного сопряжения   w = z  инверсию относительно окружности
  а) с центром i и радиусом R = 1;
  б) с центром  Re^iφ  и радиусом R;
  в) с центром z₀ и радиусом R.

   Решение

Докажите, что если существует цепочка окружностей S₁, S₂,..., S_n, каждая из которых касается двух соседних (S_n касается S_{n - 1} и S₁) и двух данных непересекающихся окружностей R₁ и R₂, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T₁, касающейся R₁ и R₂ (одинаковым образом, если R₁ и R₂ не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T₁, T₂,..., T_n (поризм Штейнера).

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 117]      

Докажите, что две непересекающиеся окружности S₁ и S₂ (или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические центры треугольника переходят друг в друга.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).
б) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки C₁ и B₁ так, что AC₁ = B₁C₁ и вписанная окружность S треугольника ABC является вневписанной окружностью треугольника AB₁C₁. Докажите, что вписанная окружность треугольника AB₁C₁ касается окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Окружности S₁, S₂,..., S_n касаются двух окружностей R₁ и R₂ и, кроме того, S₁ касается S₂ в точке A₁, S₂ касается S₃ в точке A₂..., S_{n - 1} касается S_n в точке A_{n - 1}. Докажите, что точки A₁, A₂,..., A_{n - 1} лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если существует цепочка окружностей S₁, S₂,..., S_n, каждая из которых касается двух соседних (S_n касается S_{n - 1} и S₁) и двух данных непересекающихся окружностей R₁ и R₂, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T₁, касающейся R₁ и R₂ (одинаковым образом, если R₁ и R₂ не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T₁, T₂,..., T_n (поризм Штейнера).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 117]