Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
В прямоугольном треугольнике длины сторон – натуральные взаимно простые числа.
Докажите, что длина гипотенузы – нечётное число, а длины катетов имеют разную чётность.
Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так,
что образовалась пятиконечная звезда
AHBKCLDMEN (рис.).
Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите,
что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C,
D, E, лежат на одной окружности.
Длины всех сторон прямоугольного треугольника
являются целыми числами, причем наибольший общий делитель
этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn
и m2 - n2, а гипотенуза равна m2 + n2, где m и n — натуральные числа.
Даны окружность S и две хорды AB и CD.
Циркулем и линейкой постройте на окружности такую точку X,
чтобы прямые AX и BX высекали на CD отрезок
а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам в данной
точке E хорды CD.
Через точку M, лежащую внутри угла с вершиной A, проведены прямые, параллельные сторонам угла и пересекающие эти стороны в точках B и C. Известно, что ∠ACB = 50°, а угол, смежный с углом ACM, равен 40°. Найдите углы треугольников BCM и ABC.
Мортеза отметил на плоскости шесть точек и нашел площади всех 20 треугольников с вершинами в этих точках. Может ли оказаться, что все полученные числа целые, а их сумма равна 2019?
а) Докажите, что проективное преобразование P
плоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую
в бесконечно удаленную прямую, является аффинным.
б) Докажите, что если точки A, B, C, D лежат па
прямой, параллельной исключительной прямой проективного
преобразования P плоскости , то
P(A)P(B) : P(C)P(D) = AB : CD.
в) Докажите, что если проективное преобразование P переводит
параллельные прямые l1 и l2 в параллельные прямые,
то либо P аффинно, либо его исключительная прямая
параллельна прямым l1 и l2.
г) Пусть P — взаимно однозначное преобразование множества
всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое
каждую прямую переводит в прямую. Докажите, что P проективно.
Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.
α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
cos + cos
+ cos
= (R + r)/R.
Докажите, что существует проективное отображение,
которое три данные точки одной прямой переводит в три
данные точки другой прямой.
Задачи Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
Задача 58409 |
|
|
Докажите, что существует проективное отображение,
которое три данные точки одной прямой переводит в три
данные точки другой прямой.
|
|
Решение |
Задача 58410 |
|
|
а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну
точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A,
B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b,
c, d соответственно. Докажите, что
(abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек
сохраняется при проективных преобразованиях.
|
|
Решение |
Задача 58411 |
|
|
Докажите, что если
(ABCX) = (ABCY), то X = Y (все
точки попарно различны, кроме, быть может, точек X и Y,
и лежат на одной прямой).
|
|
|
Решение |
Задача 58412 |
|
|
Докажите, что проективное преобразование прямой
однозначно определяется образами трех произвольных точек.
|
|
|
Решение |
Задача 58413 |
|
|
Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой
имеет не более двух неподвижных точек.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
