Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 10,11
|
Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания
описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 10,11
|
Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками
касания противоположных сторон с вписанной окружностью,
пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 10,11
|
а) Через точку P проводятся всевозможные секущие
окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения
касательных к окружности S, проведенных в двух точках
пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих
AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки
пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек
пересечения прямых AC и BD.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 10,11
|
Даны окружность S, прямая l, точка M, лежащая
на S и не лежащая на l, и точка O, не лежащая на S.
Рассмотрим преобразование P прямой l, являющееся композицией
проектирования l на S из M, S на себя из O и S на l
из M, т. е. P(A) — пересечение прямых l и MC,
где C — отличная от B точка пересечения S с прямой OB,
а B — отличная от A точка пересечения S с прямой MA.
Докажите, что преобразование P проективно.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 10,11
|
Даны окружность S, точка P, расположенная вне S,
и прямая l, проходящая через P и пересекающая окружность
в точках A и B. Точку пересечения касательных к окружности
в точках A и B обозначим через K.
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P
и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите,
что геометрическим местом точек пересечения отличных от
AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N,
является некоторая прямая, проходящая через K, из которой
выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать
точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R
точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что
все полученные прямые проходят через одну точку, и эта
точка лежит на l.
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
Фильтр
