Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
В прямоугольном треугольнике длины сторон – натуральные взаимно простые числа.
Докажите, что длина гипотенузы – нечётное число, а длины катетов имеют разную чётность.
Докажите, что при простых p > 7 число p4 − 1 делится на 240.
Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: a³b + b³c + c³a ≥ abc(a + b + c).
Сторона квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой окружности, причём остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Касательная CK, проведённая из вершины C к этой же окружности, равна 2. Найдите диаметр окружности.
Диаметры AB и CD окружности S перпендикулярны.
Хорда EA пересекает диаметр CD в точке K, хорда EC пересекает
диаметр AB в точке L. Докажите, что если CK : KD = 2 : 1,
то AL : LB = 3 : 1.
Доска 2N×2N покрыта неперекрывающимися доминошками 1×2. По доске прошла хромая ладья, побывав на каждой клетке по одному разу (каждый ход хромой ладьи – на клетку, соседнюю по стороне). Назовём ход продольным, если это переход из одной клетки доминошки на другую клетку той же доминошки. Каково
а) наибольшее;
б) наименьшее возможное число продольных ходов?
Пусть n > 2. Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.
Задачи Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 201]
Задача 60456 |
|
|
Пусть n > 2. Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.
|
|
Решение |
Задача 60459 |
|
|
Докажите, что множество простых чисел вида p = 4k + 3 бесконечно.
|
|
Решение |
Задача 60460 |
|
|
Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно.
|
|
|
Решение |
Задача 60474 |
|
|
Пусть {pn} – последовательность простых чисел (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ...).
а) Докажите, что pn > 2n при n ≥ 5.
б) При каких n будет выполняться неравенство pn > 3n?
|
|
|
Решение |
Задача 60475 |
|
|
Докажите неравенство pn+1 < p1p2...pn (pk – k-е простое число).
|
|
|
Решение |
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 201]
