Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение  P(x) = a.  Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?

   Решение

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁, C₁ на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются в одной точке (Штейнер).

   Решение

Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.

   Решение

Решите неравенство:
|x + 2000| < |x - 2001|.

   Решение

Найдите все натуральные  n > 1,  для которых  n³ – 3  делится на  n – 1.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 420]      

Для некоторых целых x и y число  3x + 2y  делится на 23. Докажите, что число  17x + 19y  также делится на 23.

Прислать комментарий

Решение

Найдите все натуральные  n > 1,  для которых  n³ – 3  делится на  n – 1.

Прислать комментарий

Решение

Пусть α – действительное положительное число, d – натуральное.
Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на d, равно  [^α/_d].

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для действительного положительного α и натурального d всегда выполнено равенство  [^α/_d] = [^[α]/_d].

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n одинаковых цифр, делится на 37.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 420]