Версия для печати
Убрать все задачи

---

На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника A₁B₁C₁D₁E₁ (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.

   Решение

---

Из произвольной точки основания равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной a, проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося четырёхугольника.

   Решение

---

При помощи формулы Лежандра (см. задачу 60553) докажите, что число      целое.

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60448

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Сколько существует способов разрезать выпуклый (n+2)-угольник диагоналями на треугольники?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61520

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Производящие функции ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Выведите формулу для чисел Каталана, воспользовавшись результатом задачи 61519 и равенством     где
  – обобщенные биномиальные коэффициенты.
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60451  [Формула для чисел Каталана]

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Комбинаторика орбит ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

  а) Пусть  {a₁, a₂,..., a_n}  – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a₁, a₂, ..., a_n},  {a₂, ..., a_n, a₁},  ...,  {a_n, a₁, ..., a_n–1}  все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.

  б) Выведите отсюда равенства:      где  (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2)  – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
  Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61519

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Производящие функции ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Пусть     – производящая функция последовательности чисел Каталана. Докажите, что она удовлетворяет равенству

и получите явный вид функции C(x).
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60557

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Числа Каталана ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Произведения и факториалы ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

При помощи формулы Лежандра (см. задачу 60553) докажите, что число      целое.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями