Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что высота неравнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, меньше половины гипотенузы.

   Решение

---

Докажите, что из шести ребер тетраэдра можно сложить два треугольника.

   Решение

---

Чему равна сумма  φ(1) + φ(p) + φ(p²) + ... + φ(p^α),  где α #8211; некоторое натуральное число?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60540

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Найдите натуральное число вида  n = 2^x3^y5^z,  зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть – на 35 и пятая часть – на 42 делителя меньше, чем само число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60758

Тема:   [ Функция Эйлера ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Функция Эйлера φ(n) определяется как количество чисел от 1 до n, взаимно простых с n. Найдите   a) φ(17);   б) φ(p);   в) φ(p²);   г) φ(p^α).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60759

Тема:   [ Функция Эйлера ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Чему равна сумма  φ(1) + φ(p) + φ(p²) + ... + φ(p^α),  где α #8211; некоторое натуральное число?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78276

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если  S(a) = S(2a),  то число a делится на 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78707

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 3 Классы: 8

Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что  a + b + ... + k = s + t + ... + z  и  ¹/_a + ¹/_b + ... + ¹/_k = ¹/_s + ¹/_t + ... + ¹/_z.
Доказать, что  m = n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями