В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

   Решение

Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.

   Решение

Докажите, что если  (m, 10) = 1,  то существует репьюнит E_n, делящийся на m. Будет ли их бесконечно много?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

При помощи теоремы Эйлера найдите число x, удовлетворяющее сравнению  ax + b ≡ 0 (mod m),  где  (a, m) = 1.

Прислать комментарий

Решение

Найдите все целые числа a, для которых число  a¹⁰ + 1  делится на 10.

Прислать комментарий

Решение

Натуральные числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что число  x = (m₂...m_n)^φ(m₁)  является решением системы
    x ≡ 1 (mod m₁),
    x ≡ 0 (mod m₂),
        ...
    x ≡ 0 (mod m_n).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если  (m, 10) = 1,  то существует репьюнит E_n, делящийся на m. Будет ли их бесконечно много?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при любом нечётном n число  2^n! – 1  делится на n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]