Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]

Задача 60887

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
	[	Функция Эйлера	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть (m, n) = 1. Докажите, что сумма длин периода и предпериода десятичного представления дроби ^m/_n не превосходит φ(n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 78544

Темы:	[	Формула включения-исключения	]
	[	Функция Эйлера	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66758

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Функция Эйлера	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Чанакчи И., Шиффлер Р.

Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке (0, 0) и вершинами в целых точках, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк – фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которые можно разбить на двуклеточные доминошки ровно $n > 2$ различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 60773

Темы:	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Функция Эйлера	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]