Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Методы >> Алгебраические методы >> Замена переменных
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2?

Вниз   Решение

Автор: Ященко И.В.

Братья Петя и Вася решили снять смешной ролик и выложить его в интернет. Сначала они сняли, как каждый из них идёт из дома в школу — Вася шёл 8 минут, а Петя шёл 5 минут. Потом пришли домой и сели за компьютер монтировать видео: они запустили одновременно Васино видео с начала и Петино видео с конца (в обратном направлении); в момент, когда на обоих роликах братья оказались в одной и той же точке пути, они склеили Петино видео с Васиным. Получился ролик, на котором Вася идёт из дома в школу, а потом в какой-то момент вдруг превращается в Петю и идёт домой задом наперёд. А какой длительности получился ролик?

ВверхВниз   Решение

Разложите на простые множители числа 111, 1111, 11111, 111111, 1111111.

ВверхВниз   Решение

Илья всегда говорит правду, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал на него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос?

ВверхВниз   Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что площади треугольников AOB и COD равны.
Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.

ВверхВниз   Решение

Найдите значение дроби В*А*Р*Е*Н*Ь*Е / К*А*Р*Л*С*О*Н, где разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.

ВверхВниз   Решение

Найти все равнобочные трапеции, которые разбиваются диагональю на два равнобедренных треугольника.

ВверхВниз   Решение

На плоскости дан угол, образованный двумя лучами a и b, и некоторая точка M.
Провести через точку M прямую c так, чтобы треугольник, образованный прямыми a, b и c, имел периметр данной величины.

ВверхВниз   Решение

а) Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин.
б) Что можно сказать в случае десятиугольника?

ВверхВниз   Решение

Обозначим через S сумму следующего ряда:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... (12.1)

Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S $\displaystyle \Rightarrow$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.

Сумму S можно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1 ) в пары:

S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0;
S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1.

Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение S:

S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1.

Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значения суммы S:

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 0 = 1 = - 1.

Какое же значение имеет сумма S в действительности?

ВверхВниз   Решение

У каждого марсианина три руки. Могут ли семь марсиан взяться за руки?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.

ВверхВниз   Решение

Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри правильного треугольника ABC, для которых MA2 = MB2 + MC2.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что для любого натурального n в десятичной записи чисел 2002n и  2002n + 2n  одинаковое число цифр.

ВверхВниз   Решение

Автор: Гальперин Г.А.

Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например,  1001! + 2,  1001! + 3, ...,   1001! + 1001).
А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять простых чисел?

ВверхВниз   Решение

Тройки чисел (xn, yn, zn) (n $ \geqslant$ 1) строятся по правилу: x1 = 2, y1 = 4, z1 = 6/7,

xn + 1 = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$,    yn + 1 = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$,    zn + 1 = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$,    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).


а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (xn, yn, zn), для которой xn + yn + zn = 0?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      

  с решениями  

Задача 107843

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Замена переменных ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Гальперин Г.А., Смоляков А.Н.

Положительные числа a, b и c таковы, что  abc = 1.  Докажите неравенство

+ + ≤ 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111769

Темы:   [ Неравенство Коши ]
[ Замена переменных ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Мурашкин М.В.

Для положительных чисел x1, x2, ..., xn докажите неравенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 61339

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Тригонометрические замены ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

Тройки чисел (xn, yn, zn) (n $ \geqslant$ 1) строятся по правилу: x1 = 2, y1 = 4, z1 = 6/7,

xn + 1 = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$,    yn + 1 = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$,    zn + 1 = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$,    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).


а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (xn, yn, zn), для которой xn + yn + zn = 0?
Прислать комментарий     Решение

Задача 102828

Темы:   [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Замена переменных ]
Сложность: 3
Классы: 7,8

Решите систему уравнений:
    xy(x + y) = 30
    x³ + y³ = 35.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108984

Темы:   [ Иррациональные уравнения ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Замена переменных (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Найти все действительные решения уравнения

36/+4/=28-4-.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .