Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]

Задача 61507

[Производящие функции многочленов Чебышева]

Темы:	[	Производящие функции	]
	[	Многочлены Чебышева	]
	[	Специальные многочлены (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:

Определения многочленов Чебышева можно найти в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61099

[Многочлены Чебышева]

Темы:	[	Тригонометрическая форма. Формула Муавра	]
	[	Многочлены Чебышева	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

а) Используя формулу Муавра, докажите, что cos nx = T_n(cos x), sin nx = sin x U_n–1(cos x), где T_n(z) и U_n(z) – многочлены степени n.
При этом по определению U₀(z) = 1.
б) Вычислите в явном виде эти многочлены для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Многочлены T_n(z) и U_n(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61471

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Многочлены Чебышева	]
	[	Специальные многочлены (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что многочлены Фибоначчи и Люка связаны с многочленами Чебышёва равенствами
U_n(^x/₂) = i^–nF_n+1(ix); 2T_n(^x/₂) = i^–nL_n(ix).
Про многочлены Фибоначчи, Люка и Чебышёва смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61102

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Многочлены Чебышева	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Известно, что cos α° = ¹/₃. Является ли α рациональным числом?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61103

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Многочлены Чебышева	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена (см. задачу 61013), докажите, что если ^p/_q рационально и cos (^p/_q)° ≠ 0, ±½, ±1, то
cos (^p/_q)° – число иррациональное.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]