Каталог по темам

Выбрано 12 задач

Делится ли на 1999 сумма чисел 1 + 2 + 3 +...+ 1999?

Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

Решение

Докажите тождество: 1³ + 2³ +...+ n³ = (1 + 2 +...+ n)².

Решение

а) Из точки A проведены прямые, касающиеся окружности S в точках B и C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны BC, лежат на окружности S.
б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины B и C любого треугольника ABC и центр O его вписанной окружности, высекает на прямых AB и AC равные хорды.

Решение

Автор: Гордин Р.К.

Дан описанный четырёхугольник. Точки касания его вписанной окружности со сторонами последовательно соединены отрезками. В получившиеся треугольники вписаны окружности. Докажите, что диагонали четырёхугольника с вершинами в центрах этих окружностей взаимно перпендикулярны.

Решение

На сторонах угла ABC, равного 120^o, отложены отрезки AB = BC = 4. Через точки A, B, C проведена окружность. Найдите её радиус.

Решение

Автор: Кожевников П.А.

На плоскости отметили 30 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и провели семь красных прямых, не проходящих через отмеченные точки. Могло ли случиться, что каждый отрезок, соединяющий какие-то две отмеченные точки, пересекается хоть с одной красной прямой?

Решение

Докажите, что в треугольнике угол A острый тогда и только тогда, когда m_a > a/2.

Решение

Решите уравнение:

cos $\displaystyle \pi$ $\displaystyle {\frac{x}{31}}$ cos 2 $\displaystyle \pi$ $\displaystyle {\frac{x}{31}}$ cos 4 $\displaystyle \pi$ $\displaystyle {\frac{x}{31}}$ cos 8 $\displaystyle \pi$ $\displaystyle {\frac{x}{31}}$ cos 16 $\displaystyle \pi$ $\displaystyle {\frac{x}{31}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{32}}$ .

Решение

Диагонали AC и BD вписанного в окружность четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что AM = 3, BM = 4 и CM = 6. Найдите CD.

Решение

Угол с вершиной C равен 120^o. Окружность радиуса R касается сторон угла в точках A и B. Найдите AB.

Решение

Объясните, как покрасить часть точек плоскости так, чтобы на каждой окружности радиуса 1 см было ровно четыре покрашенные точки.

Решение

Задача 104117

Задача 102860

Задача 115380

Задача 64189

Задача 64688