С числом разрешается производить две операции: ``увеличить в два раза'' и ``увеличить на 1''. За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить
а) число 100; б) число n?

   Решение

Дан треугольник ABC, в котором  AC = ,  BC = 1,  ∠B = 45°.  Найдите угол A.

   Решение

На доске были записаны числа 3, 9 и 15. Разрешалось сложить два записанных числа, вычесть из этой суммы третье, а результат записать на доску вместо того числа, которое вычиталось. После многократного выполнения такой операции на доске оказались три числа, наименьшее из которых было 2013. Каковы были два остальных числа?

   Решение

В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина A разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина A называется неустойчивой. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.

   Решение

В треугольник ABC помещены три равных окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Все три окружности имеют одну общую точку. Найдите радиусы этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны r и R.

   Решение

Точка D – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Окружность, проходящая через точки A, B и D, пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABD и MNC равны.

   Решение

В треугольнике ABC проведены высоты AH₁, BH₂ и CH₃. Точка M – середина отрезка H₂H₃. Прямая AM пересекает отрезок H₂H₁ в точке K.
Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.

   Решение

В треугольнике ABC  ∠CAB = 75°,  ∠ABC = 45°.  На стороне CA берётся точка K, а на стороне CB – точка M,  CK : AK = 3 : 1.
Найдите   KM : AB,  если это отношение меньше ¾, а прямая MK отсекает от треугольника ABC треугольник, ему подобный.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Точки A₂ и C₂ симметричны A₁ и C₁ относительно середин сторон BC и AB. Докажите, что прямая, соединяющая вершину B с центром O описанной окружности, делит отрезок A₂C₂ пополам.

   Решение

Остроугольный равнобедренный треугольник и трапеция вписаны в окружность. Одно основание трапеции является диаметром окружности, а боковые стороны параллельны боковым сторонам треугольника. Найдите отношение площадей трапеции и треугольника.

   Решение

В треугольнике АВС точки М и N – середины сторон AC и ВС соответственно. Известно, что точка пересечения медиан треугольника AMN является точкой пересечения высот треугольника АВС. Найдите угол АВС.

   Решение

Высоты равнобедренного остроугольного треугольника, в котором AB = BC, пересекаются в точке H.
Найдите площадь треугольника ABC, если  AH = 5,  а высота AD равна 8.

   Решение

На каждой стороне правильного треугольника взято по точке. Стороны треугольника с вершинами в этих точках перпендикулярны сторонам исходного треугольника. В каком отношении каждая из взятых точек делит сторону исходного треугольника?

   Решение

Докажите, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

   Решение

Высоты AD и BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Описанная окружность треугольника ABH, пересекает стороны AC и BC в точках F и G соответственно. Найдите FG, если  DE = 5 см.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 243]      

Докажите, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Прислать комментарий

Решение

Высоты равнобедренного остроугольного треугольника, в котором AB = BC, пересекаются в точке H.
Найдите площадь треугольника ABC, если  AH = 5,  а высота AD равна 8.

Прислать комментарий

Решение

Точки a₁, a₂ и a₃ расположены на единичной окружности  zz = 1.
Докажите, что точка  h = a₁ + a₂ + a₃  является ортоцентром треугольника с вершинами в точках a₁, a₂ и a₃.

Прислать комментарий

Решение

Высоты AD и BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Описанная окружность треугольника ABH, пересекает стороны AC и BC в точках F и G соответственно. Найдите FG, если  DE = 5 см.

Прислать комментарий

Решение

Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников CHB и AHB в точке H, пересекают прямую AC в точках A₁ и C₁ соответственно. Докажите, что  A₁H = C₁H.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 243]