Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 75]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Кощей придумал для Ивана-дурака испытание. Он дал Ивану
волшебную дудочку, на которой можно играть только две ноты – до и
си. Для прохождения испытания Ивану нужно сыграть какую-нибудь мелодию
из 300 нот на свой выбор. Но до того, как он начнёт играть, Кощей
выбирает и объявляет запретными одну мелодию из пяти нот, одну – из
шести нот, ..., одну – из 30 нот. Если в какой-то момент
последние сыгранные ноты образуют одну из запретных мелодий, дудочка
перестаёт звучать. Сможет ли Иван пройти испытание, какие бы мелодии
Кощей ни объявил запретными?
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Пусть M={x1, .., x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных
чисел; An ( 1
n 30 ) – сумма всевозможных произведений различных n элементов
множества M . Докажите, что если A15>A10 , то A1>1 .
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям
целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.
а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.
б) Найдите математическое ожидание ординаты Мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
На шкуре у Носорога складки – вертикальные и горизонтальные.
Если у Носорога на левом боку a вертикальных, b горизонтальных складок, а на правом – c вертикальных и d горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии (abcd)
или просто Носорог (abcd).
Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз, и у Носорога на этом боку есть две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки
разглаживаются. Если двух таких складок нет, то ничего не происходит.
Аналогично если Носорог чешется боком вперед-назад, и на этом боку есть две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдётся, то ничего не происходит.
Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется две новые складки: одна вертикальная и одна горизонтальная.
Носороги чешутся часто, случайным боком о случайные баобабы в случайных направлениях.
Вначале в саванне было стадо Носорогов (0221). Докажите, что через некоторое время в саванне появится Носорог (2021).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
За дядькой Черномором выстроились чередой бесконечное число богатырей разного роста. Докажите, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечное число богатырей и все они стояли по росту (в порядке возрастания или убывания).
Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 75]
Фильтр
