Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Струков С.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и CE. Из вершин B и C на прямую ED опущены перпендикуляры BF и CG. Докажите, что EF = DG.

Вниз   Решение


Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника.

ВверхВниз   Решение


Вписанная окружность треугольника A1A2A3 касается сторон A2A3, A3A1 и A1A2 в точках S1, S2 и S3 соответственно. Пусть O1, O2 и O3 – центры вписанных окружностей треугольников A1S2S3, A2S3S1 и A3S1S2 соответственно. Докажите, что прямые O1S1, O2S2 и O3S3 пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC угол A прямой, M – середина BC, AH – высота. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно AC, вторично пересекает описанную окружность треугольника AMC в точке P. Докажите, что отрезок BP делит отрезок AH пополам.

ВверхВниз   Решение


В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями  x ± y ± z = n  (при всех целых n). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка  (x0, y0, z0)  с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное k, при котором точка  (kx0, ky0, kz0)  лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 81 82 83 84 85 86 87 >> [Всего задач: 489]      



Задача 61350

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Четность и нечетность ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие.
Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если известно, что:
  а) масса каждой гири равна целому числу граммов;
  б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов;
  в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному) числу.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64741

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Наименьший или наибольший угол ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10

На доске нарисован правильный многоугольник. Володя хочет отметить k точек на его периметре так, чтобы не существовало другого правильного многоугольника (не обязательно с тем же числом сторон), также содержащего отмеченные точки на своем периметре.
Найдите наименьшее k, достаточное для любого исходного многоугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65760

Темы:   [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями  x ± y ± z = n  (при всех целых n). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка  (x0, y0, z0)  с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное k, при котором точка  (kx0, ky0, kz0)  лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97818

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

На бесконечной во все стороны шахматной доске выделено некоторое множество клеток A. На всех клетках доски, кроме множества A, стоят короли. Все короли могут по команде одновременно сделать ход, заключающийся в том, что король либо остаётся на месте, либо занимает соседнее поле, то есть делает "ход короля". При этом он может занять и то поле, с которого сходит другой король, но в результате хода двум королям оказаться в одной клетке запрещается. Существует ли такое k и такой способ движения королей, что после k ходов вся доска будет заполнена королями? Рассмотрите варианты:
  а) A есть множество всех клеток, у которых обе координаты кратны 100 (предполагается, что одна горизонтальная и одна вертикальная линии занумерованы всеми целыми числами от минус бесконечности до бесконечности и каждая клетка доски обозначается двумя числами – координатами по этим двум осям);
  б) A есть множество всех клеток, каждая из которых бьётся хотя бы одним из 100 ферзей, расположенных каким-то фиксированным образом.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98226

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Перестройки ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит его площадь пополам?
  б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем ⅓ площади всего многоугольника.

  в) Можно ли в пункте б) заменить число ⅓ на большее?
(Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 81 82 83 84 85 86 87 >> [Всего задач: 489]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .