Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Многоугольники >> Сумма внутренних и внешних углов многоугольника
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 17 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть α , β , γ и δ  — градусные меры углов некоторого выпуклого четырехугольника. Всегда ли из этих четырех чисел можно выбрать три числа так, чтобы они выражали длины сторон некоторого треугольника (например, в метрах)?

Вниз   Решение

Докажите, что высота неравнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, меньше половины гипотенузы.

ВверхВниз   Решение

Дан треугольник ABC. Окружность радиуса R касается прямых AB и BC в точках A и C и пересекает медиану BD в точке L, причём  BL = 5/9 BD.
Найдите площадь треугольника.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Женодаров Р.Г., Богданов И.И.

Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?

ВверхВниз   Решение

В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.

ВверхВниз   Решение

Сумма углов n-угольника. Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями. Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике равна (n - 2)$ \pi$.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая высота.

ВверхВниз   Решение

Найдите сумму внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине.

ВверхВниз   Решение

Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что  cdcdcdcd  не делится на  aabb.

ВверхВниз   Решение

Решите уравнение xx4 = 4 (x > 0).

ВверхВниз   Решение

При каких x и y число  xxyy  является квадратом натурального числа?

ВверхВниз   Решение

Пусть M — центр масс n-угольника A1...An; M1,..., Mn — центры масс (n - 1)-угольников, полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A1,..., An соответственно. Докажите, что многоугольники A1...An и  M1...Mn гомотетичны.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что длину биссектрисы la можно вычислить по следующим формулам:
а)  la = $ \sqrt{4p(p-a)bc/(b+c)^2}$;
б)  la = 2bc cos($ \alpha$/2)/(b + c);
в)  la = 2R sin$ \beta$sin$ \gamma$/cos(($ \beta$ - $ \gamma$)/2);
г)  la = 4p sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2)/(sin$ \beta$ + sin$ \gamma$).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что любой выпуклый многоугольник $ \Phi$ содержит два непересекающихся многоугольника $ \Phi_{1}^{}$ и $ \Phi_{2}^{}$, подобных $ \Phi$ с коэффициентом 1/2.

ВверхВниз   Решение

Радиус вписанной окружности треугольника равен $ {\frac{1}{3}}$. Докажите, что наибольшая высота треугольника не меньше 1.

ВверхВниз   Решение

Автор: Акопян А.В.

На плоскости дано n выпуклых попарно пересекающихся k-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы     из этих k-угольников.

ВверхВниз   Решение

В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу m. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться m?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 77]      

  с решениями  

Задача 64889

Тема:   [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11

Существует ли выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целыми числами градусов?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65983

Темы:   [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Тригонометрический круг ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10,11

В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу m. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться m?

Прислать комментарий     Решение

Задача 76517

Тема:   [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Какое наибольшее число острых углов может встретиться в выпуклом многоугольнике?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115451

Темы:   [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Пусть α , β , γ и δ  — градусные меры углов некоторого выпуклого четырехугольника. Всегда ли из этих четырех чисел можно выбрать три числа так, чтобы они выражали длины сторон некоторого треугольника (например, в метрах)?
Прислать комментарий     Решение

Задача 32007

Темы:   [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Существует ли выпуклый 1978-угольник, у которого все углы выражаются целым числом градусов?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 77]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .